初等函数 （基本函數）是由常函数 、幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数 和反三角函数 等经过有限次的有理运算 （加 、减 、乘 、除 、乘方 、开方 ）及有限次函数复合 所产生、并且在定义域 上能用一个方程式 表示的函数 。 [ 1]
一般来说，分段函数 不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。
初等函数的全体对算术运算、复合和微分 （求导）是封闭的，但对求极限 、无穷级数 以及积分 不封闭。只有刘维尔函数
此外，部分初等函数不是整函数 ，或者在复数域 上是多值函数 。
之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语 ：fonction élémentaire ），需要从微分代数 的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔 引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特 给出的：
一个微分域
F
{\displaystyle F}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
u
→
f
(
u
)
{\displaystyle u\rightarrow f(u)}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
f
(
u
+
v
)
=
f
(
u
)
+
f
(
v
)
{\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)}
f
(
u
v
)
=
u
f
(
v
)
+
v
f
(
u
)
{\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)}
C
{\displaystyle C}
f
(
C
)
=
0
{\displaystyle f(C)=0}
在以上定义满足时，一个函数
u
{\displaystyle u}
F
{\displaystyle F}
初等函数 ，当且仅当该函数至少满足以下三者之一：
是
F
{\displaystyle F}
代数函数 ；
是
F
{\displaystyle F}
f
(
u
)
=
u
f
(
a
)
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F}
是
F
{\displaystyle F}
f
(
u
)
=
f
(
a
)
a
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F}
称
f
(
x
)
=
C
{\displaystyle f(x)=C}
C 为常数 ，它的定义域为
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
称形如
f
(
x
)
=
C
x
r
{\displaystyle f(x)=Cx^{r}}
C , r 为常数。幂函数的定义域与r 的值有关，但是不管r 取何值，该函数在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
有意义 。
称形如
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}}
指数函数 ，其中a 是常数，
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
值域 为
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
称形如
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x\!}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
反函数 。该函数定义域为
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
称形如
f
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle f(x)=\sin x}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
称形如
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos x}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
称形如
f
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle f(x)=\tan x}
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
π
{\displaystyle \pi }
称形如
f
(
x
)
=
cot
x
{\displaystyle f(x)=\cot x}
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
π
{\displaystyle \pi }
称形如
f
(
x
)
=
sec
x
{\displaystyle f(x)=\sec x}
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
称形如
f
(
x
)
=
csc
x
{\displaystyle f(x)=\csc x}
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
双曲正弦 函数：
y
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
双曲余弦 函数：
y
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
y
=
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
反双曲正弦函数：
y
=
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
y
=
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
^ 伍胜健. 数学分析 第一册. 北京大学出版社. 2009: 24. ISBN 9787301156858
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![余切函数]图像](/wiki/File:Cotan_proportional.svg)
![{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dedf8ddf2dcc93b2f0799dfd206f0064a74e94f)
