此条目页的主題是数学分析中关于傅里叶级数的定理。关于数论中的
狄利克雷定理 ，請見「
狄利克雷定理 」。
在数学分析 中，狄利克雷定理 （或若尔当—狄利克雷定理 ,狄利克雷条件 ）是关于傅里叶级数 逐点收敛 的一个结果。这个定理的最初版本是由德国 科学家 狄利克雷 在公元1829年证明的[ 1] 积分理论 ，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调 的函数）。
定理的推广版本则是由法国 数学家卡米尔·若尔当 在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差 函数[ 2]
设
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
周期性 的局部可积函数 ，其周期为
2
π
{\displaystyle 2\pi }
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
函数
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
左极限和右极限 ，分别记为
f
(
x
0
+
)
{\displaystyle f(x_{0}^{+})}
f
(
x
0
−
)
{\displaystyle f(x_{0}^{-})}
存在正实数：
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
∫
0
α
|
f
(
x
0
+
t
)
−
f
(
x
0
+
)
|
t
d
t
,
∫
0
α
|
f
(
x
0
−
t
)
−
f
(
x
0
−
)
|
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t}
那么，函数
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
lim
n
(
S
n
f
(
x
0
)
)
=
1
2
(
f
(
x
0
+
)
+
f
(
x
0
−
)
)
{\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))}
定理成立的一个特例是当函数
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
左导数和右导数 的时候，又或者是当函数是分段
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
光滑函数 ）的时候。
定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积 以及拥有良好性质的三角多项式 ：狄利克雷核 来计算。
D
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
e
i
k
x
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
,
{\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}
S
n
(
f
)
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
D
n
(
x
−
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
D
n
(
t
)
f
(
x
−
t
)
d
t
{\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt}
这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：
S
n
(
f
)
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}
这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理 所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数
f
(
x
−
t
)
sin
(
t
/
2
)
{\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}}
0 附近并不一定可积。但是由于：
f
~
(
x
)
=
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
2
{\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}}
存在，可以考虑将区间
[
−
π
,
0
)
{\displaystyle [-\pi ,0)}
u
=
−
t
{\displaystyle u=-t}
S
n
(
f
)
(
x
)
{\displaystyle S_{n}(f)(x)}
S
n
(
f
)
(
x
)
=
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}
因此：
S
n
(
f
)
(
x
)
−
f
~
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
−
1
2
(
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
)
{\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)}
而由于狄利克雷核在区间
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
1
=
1
2
π
∫
−
π
π
D
n
(
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
=
2
⋅
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
{\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}
1
2
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}
因此：
S
n
(
f
)
(
x
)
−
f
~
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
−
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
t
2
(
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
)
d
t
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
+
)
−
f
(
x
−
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}}
由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：
lim
n
→
∞
S
n
(
f
)
(
x
)
=
f
~
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)}
^ 狄利克雷 , Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données , Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169^ 若尔当, Sur la série de Fourier , C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230
（英文） Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms ISBN 9780521597715 （法文） Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes ISBN 284225001X 
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
