跳转到内容

逐次积分

维基百科,自由的百科全书

微积分学的逐次积分iterated integral)是在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数,重复进行多次积分而得到的积分。例如,对于二变量函数f ( x, y )的二重积分, 先将y视为常数,并且关于x积分∫ f ( x , y ) dx ,得到关于y的函数,进一步对y进行积分,这就得到了逐次积分。

考虑逐次积分的概念时,重要的一点就是

逐次积分与多重积分实际上是兩个不同的概念。但是即使两者不同,但由于富比尼定理,它们在足够宽松的条件下计算出的结果一致。

一种简化的表示法是

这种记号也很常用,但这并不是∫ dy和∫ f ( x ) dx的乘积。只不过是逐次积分的一种表示方法。

顺序积分是按照dxdy等指定的顺序来计算的,一般是从内到外依次计算。(即先对x积分之后在对y积分)。

例子

简单的计算

对于逐次积分

的计算,首先将y作为常数,对括号里面关于x 积分(此步骤称为部分积分(partial integration)),

这是个常见的单变量积分,之后再对y积分可得

要注意的是,在该计算过程中应该出现的积分常数被省略了。第一次进行积分时出现的积分常数对于x来说是一个“常数”,严格来说,它是一个可能包含y的函数。这是因为,对f(x,y)关于x偏微分时,只含有y的项会被当作常数,而常数的导数为0,因此y的项就被消掉了。同样的,在第二次关于y的积分中,应该有关于x的函数被添加为“积分常数”。在这种情况下,多元函数的不定积分没有非常明确的意义。相对于单变量函数的原始函数与不定积分最多就差个常数,多变量函数的原始函数中可能和不定积分有很大的差异。

积分顺序

在逐次积分中,计算积分的顺序很重要。例如,对于很多稍微复杂的函数,如果计算顺序改变,结果就会改变。

假设正数单调递增数列 0 < a 0 < a 2 < … 满足a n → 1,定义连续函数g n在开区间 ( a n, a n +1 ) 中不为 0,此外始终为0,此外如果对于任何n,则能定义一个函数f(x,y)

这意味着对于每个 ( x, y ),最多有一个非零项。注意到这一点,有

(Rudin 1970)

参考

  • W., Rudin. Real and complex analysis 3rd. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. W., Rudin. Real and complex analysis 3rd. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 
  • 高木貞治. 解析概論 改訂第三版. 岩波書店. 

相关书籍

  • 河野俊丈. 反復積分の幾何学. シュプリンガー現代数学シリーズ. シュプリンガージャパン. 2009. ISBN 978-4431706694. 河野俊丈. 反復積分の幾何学. シュプリンガー現代数学シリーズ. シュプリンガージャパン. 2009. ISBN 978-4431706694. 

外部链接