正割 |
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性質 |
奇偶性 | 偶 |
定義域 | |
到達域 | |
周期 | (360°) |
特定值 |
當x=0 | 1 |
當x=+∞ | N/A |
當x=-∞ | N/A |
最大值 | +∞ |
最小值 | -∞ |
其他性質 |
渐近线 | (x=180°k+90°) |
根 | 無實根 |
臨界點 | (180°k) |
不動點 | 當x軸為弧度時: -2.07393280909121...[註 1] (-118.827596954637699...°) -4.487669603341...[註 2] (-257.12452812059255...°) 4.9171859252871...[註 3] (281.734000600083215...°) 7.72415319239641...[註 4] (442.5613782368157...°) ...
當x軸為角度時: -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...° |
k是一個整數。 |
正割(Secant,)是三角函数的一种。它的定义域是不含(或180°k+90°,其中為整數)的整个实数集,值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数,其最小正周期为(360°)。
正割是三角函数的正函數(正弦、正切、正割、正矢)之一,所以在(360°k)到(360°k+90°)的區間之間,函數是遞增的,另外正割函数和餘弦函数互為倒數。
在單位圓上,正割函数位於割線上,因此將此函數命名為正割函数。
和其他三角函數一樣,正割函数一樣可以擴展到複數。
符号史
正割的数学符号为,出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。
定义
直角三角形中
在直角三角形中,一个锐角的正割定义为它的斜邊与鄰邊的比值,也就是:
可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。
直角坐标系中
设是平面直角坐标系xOy中的一个象限角,是角的终边上一点,是P到原点O的距离,则的正割定义为:
单位圆定义
图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度1,所以有了。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。
对于大于(360°)或小于(-360°)的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正割变成了周期为(360°)的周期函数:
对于任何角度和任何整数。
與其他函數定義
正割函數和餘弦函數互為倒數
即:[1]
級數定義
正割也能使用泰勒級數來定義:
其中为欧拉数。
另外,我们也有
微分方程定義
指數定義
恆等式
用其它三角函数来表示正割
函數
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和差角公式
巴罗的正割積分
艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分
註釋
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语).
參考文獻
參見