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换元积分法

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换元积分法,又稱變數變換法(英語:Integration by substitution),是求积分的一种方法,由链式法则微积分基本定理推导而来。

第一类换元法

为可积函数,为连续可导函数,则有:

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法

为可积函数,为连续可导函数,则有:

在遇到类似的式子时,通常采取分别令进行换元[1],得到关于的一个原函数。如果要计算不定积分,则再由的关系还原即可;如果要计算定积分,只需在变换后的积分限下计算相应的定积分即可。

例子

计算积分

引入另外一個變數

, 則
,
,

其中 换元为 后, 亦变为 ,是因为其形式为黎曼-斯蒂尔杰斯积分,但在黎曼-斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围,而不是 g(x) 的取值范围。

不引入另外一個變數

注释

  1. ^ 换元的过程需要注意指明新变量的取值范围。

参见