初等函數 （基本函數）是由常函數 、冪函數 、指數函數 、對數函數 、三角函數 和反三角函數 等經過有限次的有理運算 （加 、減 、乘 、除 、乘方 、開方 ）及有限次函數複合 所產生、並且在定義域 上能用一個方程式 表示的函數 。 [ 1]
一般來說，分段函數 不是初等函數，因為在這些分段函數的定義域上不能用一個解析式表示。
初等函數的全體對算術運算、複合和微分 （求導）是封閉的，但對求極限 、無窮級數 以及積分 不封閉。只有劉維爾函數
此外，部分初等函數不是整函數 ，或者在複數域 上是多值函數 。
之所以稱這些函數為「初等函數」或「基本函數」（法語 ：fonction élémentaire ），需要從微分代數 的角度考慮。儘管「初等函數」這個概念最初是由約瑟夫·劉維爾 引入的，但目前的通行定義是由約瑟夫·里特 給出的：
一個微分域
F
{\displaystyle F}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
u
→
f
(
u
)
{\displaystyle u\rightarrow f(u)}
f
(
u
)
{\displaystyle f(u)}
f
(
u
+
v
)
=
f
(
u
)
+
f
(
v
)
{\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)}
f
(
u
v
)
=
u
f
(
v
)
+
v
f
(
u
)
{\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)}
C
{\displaystyle C}
f
(
C
)
=
0
{\displaystyle f(C)=0}
在以上定義滿足時，一個函數
u
{\displaystyle u}
F
{\displaystyle F}
初等函數 ，若且唯若該函數至少滿足以下三者之一：
是
F
{\displaystyle F}
代數函數 ；
是
F
{\displaystyle F}
f
(
u
)
=
u
f
(
a
)
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F}
是
F
{\displaystyle F}
f
(
u
)
=
f
(
a
)
a
,
a
∈
F
{\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F}
稱
f
(
x
)
=
C
{\displaystyle f(x)=C}
C 為常數 ，它的定義域為
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
稱形如
f
(
x
)
=
C
x
r
{\displaystyle f(x)=Cx^{r}}
C , r 為常數。冪函數的定義域與r 的值有關，但是不管r 取何值，該函數在
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
有意義 。
稱形如
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}}
指數函數 ，其中a 是常數，
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
值域 為
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
稱形如
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x\!}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
反函數 。該函數定義域為
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
稱形如
f
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle f(x)=\sin x}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
稱形如
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos x}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
稱形如
f
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle f(x)=\tan x}
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
π
{\displaystyle \pi }
稱形如
f
(
x
)
=
cot
x
{\displaystyle f(x)=\cot x}
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
π
{\displaystyle \pi }
稱形如
f
(
x
)
=
sec
x
{\displaystyle f(x)=\sec x}
{
x
|
x
≠
k
π
+
π
2
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
稱形如
f
(
x
)
=
csc
x
{\displaystyle f(x)=\csc x}
{
x
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}
(
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
雙曲正弦 函數：
y
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
雙曲餘弦 函數：
y
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
y
=
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
反雙曲正弦函數：
y
=
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
y
=
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1] （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
^ 伍勝健. 数学分析 第一册. 北京大學出版社. 2009: 24. ISBN 9787301156858
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![餘切函數]圖像](/wiki/File:Cotan_proportional.svg)
![{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dedf8ddf2dcc93b2f0799dfd206f0064a74e94f)
