分離代換法

數學上，分離代換法是一種解析常微分方程式或偏微分方程式的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個代換，而剩餘部分則跟此代換無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程式

主條目：可分離代換的微分方程式

假若，一個常微分方程式可以寫為

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]$ 。

設定代換 $y=f(x)$ 。那麼，

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)$ ．(1)

只要是 $h(y)\neq 0$ ，就可以將方程式兩邊都除以 $h(y)$ ，再都乘以 $dx$ ：

${dy \over h(y)}={g(x)dx}$ 。

這樣，可以將兩個代換 $x$ ，$y$ 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的代換無關，表達式恆等於常數 $k$ 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程式；

$\int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k$ 。

第二種方法

有些不喜歡用萊布尼茨標記的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)$ 。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離代換法？

隨著 $x$ 積分公式的兩邊，可以得到

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx$ 。(2)

應用代換積分法，

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx$ 。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程式有解。這方法允許將導數 ${\frac {dy}{dx}}$ 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程式。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋，

實例 (I)

常微分方程式 ${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$ 可以寫為

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y)$ ；(3)

其中，$y=f(x)$ 。

設定 $g(x)=1$ ，$h(y)=y(1-y)$ 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。

進一步編排，則

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx$ 。

代換 $x$ ，$y$ 分別在公式的兩邊。將兩邊積分，

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx$ 。

積分的結果是

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C$ ；

其中，$C$ 是個積分常數。稍加運算，則可得

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}$ 。

在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 ${\frac {dy}{dx}}$ 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 $B$ 的正值與負值。而當 $y=1$ 時，$B=0$ ）。

特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 $y$ 跟 $(1-y)$ ，必須檢查兩個函數 $y(x)=0$ 與 $y(x)=1$ 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱奇異解 。

實例 (II)

人口數值的成長時常能夠用常微分方程式來表達

${\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ ；

其中，$P$ 是人口數值函數，$t$ 是時間參數， $k$ 是成長的速率，$K$ 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以$P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ ．再隨著時間 $t$ 積分，

$\int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt$ 。

應用代換積分法，

$\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt$ 。

稍微運算，則可得

$P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$ ；

其中，$A$ 是常數。

偏微分方程式

主條目：可分離代換的偏微分方程式

給予一個 $n$ 元函數 $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ 的偏微分方程式，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程式，可以猜想一個解答；解答的形式為

$F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})$ ，

或者

$F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})$ 。

時常，對於每一個自變數 $x_{i}$ ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程式為可分偏微分方程式 (separable partial differential equation)。

實例 (III)

假若，函數 $F(x,\ y,\ z)$ 的偏微分方程式為

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0$ 。

猜想解答為

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)$ 。

那麼，

${\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0$ 。

因為 $X(x)$ 只含有 $x$ 、$Y(y)$ 只含有 $y$ 、$Z(z)$ 只含有 $z$ ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程式改變為三個很簡單的常微分方程式：

${\frac {dX}{dx}}=c_{1}$ 、

${\frac {dY}{dy}}=c_{2}$ 、

${\frac {dZ}{dz}}=c_{3}$ ；

其中，$c_{1},\ c_{2},\ c_{3}$ 都是常數，$c_{1}+c_{2}+c_{3}=0$ 。

偏微分方程式的答案為

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}$ ；

其中，$c_{4}$ 是常數。

實例 (IV)

思考一個典型的偏微分方程式，

$\nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0$ 。

首先，猜想答案的形式為

$v=X(x)Y(y)$ 。

代入偏微分方程式，

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0$ 。

或者，用單撇號標記，

$X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0$ 。

將方程式的兩邊除以 $X(x)Y(y)$ ，則可得

${X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}$ 。

由於任何一邊的表達式跟另外一邊的代換無關，表達式恆等於常數 $k$ ：

${X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}$ 。

因此，可以得到兩個新的常微分方程式：

$X''(x)-kX(x)=0$ 、

$Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0$ 。

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程式。假若，$k<0<\lambda +k$ ，則這兩個常微分方程式都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

$X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})$ ，

$Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})$ ；

其中，$A_{x},\ A_{y}$ 是振幅常數，$B_{x},\ B_{y}$ 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱

• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 哈密頓-雅可比方程式
• 亥姆霍茲方程式

參考文獻

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。