分离变量法

数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以藉代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。

常微分方程

主条目：可分离变量的微分方程

假若，一个常微分方程可以写为

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]$ 。

设定变量 $y=f(x)$ 。那么，

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)$ ．(1)

只要是 $h(y)\neq 0$ ，就可以将方程式两边都除以 $h(y)$ ，再都乘以 $dx$ ：

${dy \over h(y)}={g(x)dx}$ 。

这样，可以将两个变量 $x$ ，$y$ 分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 $k$ 。因此，可以得到两个较易解的常微分方程；

$\int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k$ 。

第二种方法

有些不喜欢用莱布尼茨标记的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)$ 。

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变量法？

随着 $x$ 积分公式的两边，可以得到

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx$ 。(2)

应用变量积分法，

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx$ 。

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 ${\frac {dy}{dx}}$ 当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释，

实例 (I)

常微分方程式 ${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$ 可以写为

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y)$ ；(3)

其中，$y=f(x)$ 。

设定 $g(x)=1$ ，$h(y)=y(1-y)$ 。套用公式 (1) ，这常微分方程式是可分的。

进一步编排，则

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx$ 。

变量 $x$ ，$y$ 分别在公式的两边。将两边积分，

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx$ 。

积分的结果是

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C$ ；

其中，$C$ 是个积分常数。稍加运算，则可得

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}$ 。

在这里，检查此解答的正确与否。计算导数 ${\frac {dy}{dx}}$ 。答案应该与原本的问题相同。（必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值，分别地造成了 $B$ 的正值与负值。而当 $y=1$ 时，$B=0$ ）。

特别注意，由于将公式 (3) 的两边除以 $y$ 跟 $(1-y)$ ，必须检查两个函数 $y(x)=0$ 与 $y(x)=1$ 是否也是常微分方程式的解答（在这个例子里，它们都是解答）。参阅奇异解 。

实例 (II)

人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

${\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ ；

其中，$P$ 是人口数值函数，$t$ 是时间参数， $k$ 是成长的速率，$K$ 环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以$P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$ ．再随着时间 $t$ 积分，

$\int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt$ 。

应用变量积分法，

$\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt$ 。

稍微运算，则可得

$P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$ ；

其中，$A$ 是常数。

偏微分方程

主条目：可分离变量的偏微分方程

给予一个 $n$ 元函数 $F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})$ 的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为

$F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})$ ，

或者

$F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})$ 。

时常，对于每一个自变量 $x_{i}$ ，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

实例 (III)

假若，函数 $F(x,\ y,\ z)$ 的偏微分方程为

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0$ 。

猜想解答为

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)$ 。

那么，

${\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0$ 。

因为 $X(x)$ 只含有 $x$ 、$Y(y)$ 只含有 $y$ 、$Z(z)$ 只含有 $z$ ，这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说，将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程：

${\frac {dX}{dx}}=c_{1}$ 、

${\frac {dY}{dy}}=c_{2}$ 、

${\frac {dZ}{dz}}=c_{3}$ ；

其中，$c_{1},\ c_{2},\ c_{3}$ 都是常数，$c_{1}+c_{2}+c_{3}=0$ 。

偏微分方程的答案为

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}$ ；

其中，$c_{4}$ 是常数。

实例 (IV)

思考一个典型的偏微分方程，

$\nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0$ 。

首先，猜想答案的形式为

$v=X(x)Y(y)$ 。

代入偏微分方程，

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0$ 。

或者，用单撇号标记，

$X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0$ 。

将方程式的两边除以 $X(x)Y(y)$ ，则可得

${X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}$ 。

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数 $k$ ：

${X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}$ 。

因此，可以得到两个新的常微分方程式：

$X''(x)-kX(x)=0$ 、

$Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0$ 。

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若，$k<0<\lambda +k$ ，则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

$X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})$ ，

$Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})$ ；

其中，$A_{x},\ A_{y}$ 是振幅常数，$B_{x},\ B_{y}$ 是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

参阅

• 拉普拉斯-龙格-冷次向量
• 哈密顿-雅可比方程
• 亥姆霍兹方程

参考文献

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。