使用者:Ab3080888/沙盒

在微積分學中，多元微積分 （也稱為多變量微積分，Multivariable calculus，multivariate calculus）是由多個變量組成的微積分。相較於只有一個變量的單變量微積分，多變量微積分在函數的求導和積分等運算中含有不少於兩個變量。

典型運算

極限與連續

在多變量微積分領域，對函數極限和函數連續性的研究可導致許多「反直覺」的結果。例如，一些含有兩個變量的標量函數（ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ），當x，y沿不同路徑（例如直線與拋物線）趨近於極限點時，函數的值不同。例如，函數

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}

沿任何直線 $y=kx$ 趨近於原點 $(0,0)$ 時，f趨近於0。然而，當變量x，y沿拋物線 $y=x^{2}$ 趨近於原點時，f趨近於0.5。由於沿不同路徑取極限時函數值不同，故該函數在原點的極限不存在。

每一個變量的連續不是多元函數連續的充分條件: 例如, 含有兩個變量的實數函數 $f(x,y)$ ，對於每一個固定的 $y$ ， $f$ 關於 $x$ 的函數在其定義域內連續。同樣的，對於每一個固定的 $x$ ， $f$ 關於 $y$ 的函數在其定義域也內連續，但這不能說明原函數連續。

作為一個例子，考慮函數

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if }}1\geq x>y\geq 0\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if }}1\geq y>x\geq 0\\1-x&{\text{if }}x=y>0\\0&{\text{else}}.\end{cases}}

很容易驗證，在實數域中，定義函數： $f_{y}(x):=f(x,y)$ ，則對於每一個固定的 $y$ ， $f_{y}(x)$ 在 $\mathbb {R}$ 上連續。同理，函數 $f_{x}$ 也是關於 $y$ 的連續函數。然而，函數 $f$ 在原點是不連續的。考慮序列 $f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)$ ( $n$ 為自然數)，若在原點連續其結果應為 $f(0,0)=0$ 。然而，通過計算知其在原點的極限為 $\lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1.$ 。因此， $f$ 在原點不連續。

偏導數

偏導數將導數的概念推廣到更高維度。一個多變量函數的偏導數是一個相對於一個變量的導數，所有其他變量視作常數，保持不變。

偏導數可被結合從而創造出複雜形式的導數。在向量分析中，Nabla算子( $\nabla$ )依據偏導數被用於定義這些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏導數的矩陣中，雅可比矩陣可以用來表示任意維度的空間之間的函數的導數。導數可因此理解為從一個域到另一個域的線性映射。

含有偏導數的微分方程被稱為偏微分方程或PDEs。這些方程較只含有一個變量的常微分方程更難被解出。

重積分

重積分將積分的概念拓展至任意數量的變量。二重積分和三重積分可用於計算平面和空間中區域的面積和體積。富比尼定理給出了使用逐次積分的方法計算二重積分的條件。

曲面積分和曲線積分可用於計算流形，例如曲面和曲線。

多變量微積分基本定理

在單變量微積分中，微積分基本定理建立了導數與積分的聯繫。多變量微積分中導數與積分之間的聯繫，體現為矢量微積分的積分定理：

在對多變量微積分更深層次的研究中，可以認為以上四條定理是一個更一般的定理的具體表現，即廣義斯托克斯定理。

應用

	定義域/值域	適用
曲線	$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$	曲線長度,曲線積分,曲線曲率.
曲面	$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$	表面積,曲面積分,通量,曲面曲率.
標量場	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	極大值和極小值,拉格朗日乘數,方向導數.
向量場	$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$	有關向量分析的運算,包括梯度,散度,旋度.

參見

多重變量統計

外部連結

UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
Multivariable Calculus – A Very Quick Review, Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst