用户:Ab3080888/沙盒

在微积分学中，多元微积分 （也称为多变量微积分，Multivariable calculus，multivariate calculus）是由多个变量组成的微积分。相较于只有一个变量的单变量微积分，多变量微积分在函数的求导和积分等运算中含有不少于两个变量。

典型运算

极限与连续

在多变量微积分领域，对函数极限和函数连续性的研究可导致许多“反直觉”的结果。例如，一些含有两个变量的标量函数（ $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ），当x，y沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。例如，函数

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}

沿任何直线 $y=kx$ 趋近于原点 $(0,0)$ 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 $y=x^{2}$ 趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件: 例如, 含有两个变量的实数函数 $f(x,y)$ ，对于每一个固定的 $y$ ， $f$ 关于 $x$ 的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的 $x$ ， $f$ 关于 $y$ 的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

作为一个例子，考虑函数

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if }}1\geq x>y\geq 0\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if }}1\geq y>x\geq 0\\1-x&{\text{if }}x=y>0\\0&{\text{else}}.\end{cases}}

很容易验证，在实数域中，定义函数： $f_{y}(x):=f(x,y)$ ，则对于每一个固定的 $y$ ， $f_{y}(x)$ 在 $\mathbb {R}$ 上连续。同理，函数 $f_{x}$ 也是关于 $y$ 的连续函数。然而，函数 $f$ 在原点是不连续的。考虑序列 $f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)$ ( $n$ 为自然数)，若在原点连续其结果应为 $f(0,0)=0$ 。然而，通过计算知其在原点的极限为 $\lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1.$ 。因此， $f$ 在原点不连续。

偏导数

偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。

偏导数可被结合从而创造出复杂形式的导数。在向量分析中，Nabla算子( $\nabla$ )依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维度的空间之间的函数的导数。导数可因此理解为从一个域到另一个域的线性映射。

含有偏导数的微分方程被称为偏微分方程或PDEs。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难被解出。

重积分

重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。

曲面积分和曲线积分可用于计算流形，例如曲面和曲线。

多变量微积分基本定理

在单变量微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多变量微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：

在对多变量微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理。

应用

	定义域/值域	适用
曲线	$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$	曲线长度,曲线积分,曲线曲率.
曲面	$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$	表面积,曲面积分,通量,曲面曲率.
标量场	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	极大值和极小值,拉格朗日乘数,方向导数.
向量场	$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$	有关向量分析的运算,包括梯度,散度,旋度.

参见

多重变量统计

外部链接

UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
Multivariable Calculus – A Very Quick Review, Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst