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常微分方程

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數學分析中,常微分方程(英語:ordinary differential equation,簡稱ODE)是未知函數只含有一個自變量的微分方程。對於微積分的基本概念,請參見微積分微分學積分學等條目。

很多科學問題都可以表示為常微分方程,例如根據牛頓第二運動定律物體的作用下的位移時間的關係就可以表示為如下常微分方程:

其中是物體的質量是物體所受的力,是位移的函數。所要求解的未知函數是位移,它只以時間為自變量。

精確解總結

一些微分方程有精確封閉形式的解,這裡給出幾個重要的類型。

在下表中,是任意關於可積函數,是給定的實常數,是任意常數(一般為複數)。這些微分方程的等價或替代形式通過積分可以得到解。

在積分解中,是積分變量(求和下標的連續形式),記號只表示積分,在積分以後替換,無需加常數(明確說明)。

微分方程 解法 通解
可分離微分方程
一階,變量均可分離(一般情況,下面有特殊情況)[1]

分離變量(除以)。
一階,變量可分離[2]

直接積分。
一階自治,變量可分離[2]

分離變量(除以)。
一階,變量均可分離[2]

整個積分。
一般一階微分方程
一階,齊次[2]

,然後通過分離變量求解。
一階,可分離變量[1]

分離變量(除以)。

如果,解為

正合微分,一階[2]

其中

全部積分

其中是積分出來的函數而不是常數,將它們列在這裡以使最終函數滿足初始條件。

非正合微分英語Inexact differential equation,一階[2]

其中

積分因子滿足

如果可以得到

一般二階微分方程
二階,自治[3]

原方程乘以,代換,然後兩次積分。
線性微分方程(最高到階)
一階線性,非齊次的函數係數[2]

積分因子
二階線性,非齊次的常係數[4]

余函數:設,代換並解出中的多項式,求出線性無關函數

特解:一般運用常數變易法英語method of variation of parameters,雖然對於非常容易的可以直觀判斷。[2]

如果,則:

如果,則:

如果,則:

階線性,非齊次常係數[4]

余函數:設,代換並解出中的多項式,求出線性無關函數

特解:一般運用常數變易法英語method of variation of parameters,雖然對於非常容易的可以直觀判斷。[2]

由於多項式的解: ,於是:

對於各不相同的

每個根重複次,

對於一些複數值的αj,令α = χj + iγj,使用歐拉公式,前面結果中的一些項就可以寫成

的形式,其中ϕj為任意常量(相移)。

參見

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
  3. ^ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
  4. ^ 4.0 4.1 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3