常微分方程

在数学分析中，常微分方程（英语：ordinary differential equation，简称ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移$s$和时间$t$的关系就可以表示为如下常微分方程：

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}=f(s)$；

其中$m$是物体的质量，$f(s)$是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移$s$，它只以时间$t$为自变量。

精确解总结

一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，$P(x),Q(x);P(y),Q(y)$和$M(x,y),N(x,y)$是任意关于$x,y$的可积函数，$b,c$是给定的实常数，$C,C_{1},C_{2}\ldots$是任意常数（一般为复数）。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中，$\lambda$和$\epsilon$是积分变量（求和下标的连续形式），记号$\int ^{x}F(\lambda )\mathrm {d} \lambda$只表示$F(\lambda )$对$\lambda$积分，在积分以后$\lambda {}=x$替换，无需加常数（明确说明）。

微分方程	解法	通解
可分离微分方程
一阶，变量$x$和$y$均可分离（一般情况,下面有特殊情况） $P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!$ $P_{1}(x)Q_{1}(y)\,\mathrm {d} x+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,\mathrm {d} y=0\,\!$	分离变量（除以$P_{2}Q_{1}$）。	$\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!$
一阶，变量$x$可分离 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(x)\,\!$ $\mathrm {d} y=F(x)\,\mathrm {d} x\,\!$	直接积分。	$y=\int ^{x}F(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +C\,\!$
一阶自治，变量$y$可分离 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F(y)\,\!$ $\mathrm {d} y=F(y)\,\mathrm {d} x\,\!$	分离变量（除以$F$）。	$x=\int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )}}+C\,\!$
一阶，变量$x$和$y$均可分离 $P(y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+Q(x)=0\,\!$ $P(y)\,\mathrm {d} y+Q(x)\,\mathrm {d} x=0\,\!$	整个积分。	$\int ^{y}P(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+\int ^{x}Q(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda =C\,\!$
一般一阶微分方程
一阶，齐次 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)\,\!$	令$y=ux$，然后通过分离变量$u$和$x$求解。	$\ln(Cx)=\int ^{\frac {y}{x}}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{F(\lambda )-\lambda }}\,\!$
一阶，可分离变量 $yM(xy)+xN(xy)\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0\,\!$ $yM(xy)\,\mathrm {d} x+xN(xy)\,\mathrm {d} y=0\,\!$	分离变量（除以$xy$）。	$\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}\,\!$ 如果$N=M$,解为$xy=C$。
正合微分，一阶 $M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!$ 其中${\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$	全部积分	${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!$ 其中$Y(y)$和$X(x)$是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数$F(x,y)$满足初始条件。
非正合微分,一阶 $M(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+N(x,y)=0\,\!$ $M(x,y)\,\mathrm {d} y+N(x,y)\,\mathrm {d} x=0\,\!$ 其中${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,\!$	积分因子$\mu (x,y)$满足 ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}\,\!$	如果可以得到$\mu (x,y)$： ${\begin{aligned}F(x,y)&=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)\,\mathrm {d} \lambda \\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!$
一般二阶微分方程
二阶，自治 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=F(y)\,\!$	原方程乘以${\frac {2\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$，代换$2{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\,\!$，然后两次积分。	$x=\pm \int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon +C_{1}}}}+C_{2}\,\!$
线性微分方程（最高到$n$阶）
一阶线性，非齐次的函数系数 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=Q(x)\,\!$	积分因子：$e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$。	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon }Q(\lambda )\,{\mathrm {d} \lambda }+C\right]$
二阶线性，非齐次的常系数 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+cy=r(x)\,\!$	余函数$y_{c}$：设$y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$，代换并解出$\alpha$中的多项式，求出线性无关函数$e^{\alpha _{j}x}$。 特解$y_{p}$：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的$r(x)$可以直观判断。	$y=y_{c}+y_{p}$ 如果$b^{2}>4c$,则： $y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\!$ 如果$b^{2}=4c$，则： $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}\,\!$ 如果$b^{2}<4c$,则： $y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!$
$n$阶线性，非齐次常系数 $\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {\mathrm {d} ^{j}y}{\mathrm {d} x^{j}}}=r(x)\,\!$	余函数$y_{c}$：设$y_{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$，代换并解出$\alpha$中的多项式，求出线性无关函数$e^{\alpha _{j}x}$。 特解$y_{p}$：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的$r(x)$可以直观判断。	$y=y_{c}+y_{p}$ 由于$\alpha _{j}$为$n$阶多项式的解： $\prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!$，于是： 对于各不相同的$\alpha _{j}$， $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!$ 每个根$\alpha _{j}$重复$k_{j}$次， $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!$ 对于一些复数值的αj，令α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成 $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})\,\!$ 的形式，其中ϕj为任意常量（相移）。

参见

• 微分方程
• 偏微分方程