数列极限

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数列极限（英语：limit of a sequence）为某些数列才拥有的特殊值，当数列的下标越来越大的时候，数列的值也就越接近那个特殊值。

定义

极限的定义 — 取一复数数列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$，若有一复数 $z\in \mathbb {C}$ ，使得

“对于任意的正实数 $\epsilon >0$，存在自然数 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的自然数 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，则 $|z_{i}-z|<\epsilon$ ”

用正式的逻辑语言来表示即

$(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]$

则称数列${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$收敛于 $z$（convergent to $z$ ），并记作

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

如果不存在这样的复数 $z\in \mathbb {C}$，则称 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 是发散的（divergent）。

实数数列的极限

从上面的定义可以证明，对实数数列 $\{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 来说，若

$\lim _{i\to \infty }z_{i}=z$

则其极限 $z$ 一定为实数 ，因为假设 $z$ 的虚部 $\operatorname {Im} (z)\neq 0$ 的话，则对极限定义取 $\epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0$ 的话，会存在 $n\in \mathbb {N}$ ，使得任意的 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$有

$|z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|$

这是矛盾的，所以根据反证法，$\operatorname {Im} (z)=0$ ，即 $z\in \mathbb {R}$ 。

基本性质

唯一性

定理 — 若数列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 的极限存在，则极限是唯一的。

证明

设数列 ${\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }$ 有两个不相等的极限值$z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C}$，则根据假设，对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$，使任意 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有

$|z_{i}-z_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

$|z_{i}-z_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}$

这样根据三角不等式，对任意的 $\epsilon >0$ ， 只要自然数 $i>n$ 就有则

$|z_{1}-z_{2}|=|(z_{1}-z_{i})-(z_{2}-z_{i})|\leq |z_{1}-z_{i}|+|z_{2}-z_{i}|<\epsilon$

这样的话，假设 $|z_{1}-z_{2}|>0$ 会得到

$|z_{1}-z_{2}|<|z_{1}-z_{2}|$

这样是矛盾的，故根据反证法， $|z_{1}-z_{2}|=0$ ，也就是 $z_{1}=z_{2}$，故极限唯一。$\Box$

有界性

定理 — 若数列$\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$有极限，则存在正实数 $M>0$ ，使得对所有的自然数 $i\in \mathbb {N}$ 都有 $|x_{i}|\leq M$。

（即 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 有极限则必为有界数列）

证明

因为$\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$有极限，假设有实数 $L\in \mathbb {R}$ 满足

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$

这样的话，对于 $\epsilon =1$ ，存在自然数 $n\in \mathbb {N}$，使得任意的自然数 $i\in \mathbb {N}$，只要 $i>n$，则

$|x_{i}-L|<\epsilon =1$

从而

$|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$

这样的话，令

$M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)$

就会有

$|x_{i}|\leq M$

故得证。$\Box$

根据实质条件的意义，上面的定理等价于“如果一个实数数列无界，则这个实数数列一定发散。”

注意有界数列不一定有极限，如数列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$ 是一个有界数列，但没有极限。

但是当数列有界，存在一个递增或是递减的子数列的话，则可以证明，数列存在极限。

保序性

定理 — 有实数数列 $\{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ 和 $\{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }$ ，若

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

则“$a>b$ ”等价于“存在$n\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>n$ 就有 $x_{i}>y_{i}$”。

证明

左至右：

取$\epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$，则由前提假设，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ 就有

$|x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}$

$|y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}$

从而

$y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$

故

$y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$

这样取 $n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}$ ，左至右就得证。$\Box$

右至左：

由前提假设，对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N}$ 使任何 $i\in \mathbb {N}$ 只要 $i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}$ 就有

$\epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a$

$\epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b$

$x_{i}>y_{i}$

从而

$0<x_{i}-y_{i}<a-b$

故得证。$\Box$

四则运算定理

设$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，则

1. $\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b$；
2. $\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b$；
3. 若$b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$,则$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$.

审敛法

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。

柯西数列

主条目：柯西序列

参看

• 级数
• 函数极限