古爾丁定理

古爾丁定理（英語：Guldinus theorem），最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅·古爾丁又重新發現了這個定理。

表面積

• 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積$A$，等於曲線的長度$s$乘以曲線的幾何中心經過的距離$d_{1}$：$A=sd_{1}$。

1. 例：設環面圓管半徑為$r$，圓管中心到環面中心距離為$R$，把環面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環面表面積為$(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR$

若有平面連續曲線$y=f(x)$，求$x$在$[a,b]$時，曲線以$x$軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是$y$，曲線長度為${\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}$，因此這個曲面的表面積便是：

$2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\;\mathrm {d} x$。

體積

• 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積$V$，等於平面形狀面積$S$乘以平面形狀的幾何中心經過的距離$d_{1}$的積：$V=Sd_{1}$。

再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉體體積$V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\;\mathrm {d} x$。