拋物面坐標系

拋物面坐標系（英語：Paraboloidal coordinates）是一種三維正交坐標系，是二維拋物線坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，拋物面坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。

基本公式

從直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 變換至拋物面坐標 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ ：

x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}

、

y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}

、

z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)

；

其中，拋物面坐標遵守以下限制：

\lambda <B<\mu <A<\nu

。

$\lambda$ -坐標曲面是橢圓拋物面 (elliptic paraboloid) ：

{\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda

。

$\mu$ -坐標曲面是雙曲拋物面：

{\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu

。

$\nu$ -坐標曲面也是橢圓拋物面：

{\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu

。

拋物面坐標的標度因子分別為

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}

、

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}

、

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}

。

無窮小體積元素等於

dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu

。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 、 $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

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閱論編正交坐標系
二維正交坐標系	笛卡兒坐標系極坐標系拋物線坐標系雙極坐標系橢圓坐標系
三維正交坐標系	直角坐標系圓柱坐標系球坐標系旋轉拋物線坐標系拋物柱面坐標系拋物面坐標系扁球面坐標系長球面坐標系橢球坐標系橢圓柱坐標系圓環坐標系雙球坐標系雙極圓柱坐標系圓錐坐標系