双曲抛物面 旋转抛物面 抛物面 (英文：Paraboloid)是二次曲面 的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面 和双曲抛物面 。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系 中的方程为：
z
=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
.
{\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}
双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：
z
=
x
2
a
2
−
y
2
b
2
.
{\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}
当a = b 时，曲面称为旋转抛物面 ，它可以由抛物线 绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器 的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。
椭圆抛物面的参数方程 为：
σ
→
(
u
,
v
)
=
(
u
,
v
,
u
2
a
2
+
v
2
b
2
)
{\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}+{v^{2} \over b^{2}}\right)}
高斯曲率 为：
K
(
u
,
v
)
=
4
a
2
b
2
(
1
+
4
u
2
a
4
+
4
v
2
b
4
)
2
{\displaystyle K(u,v)={4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}}
平均曲率 为：
H
(
u
,
v
)
=
a
2
+
b
2
+
4
u
2
a
2
+
4
v
2
b
2
a
2
b
2
(
1
+
4
u
2
a
4
+
4
v
2
b
4
)
3
2
{\displaystyle H(u,v)={a^{2}+b^{2}+{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}}
它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。
双曲抛物面的参数方程为：
σ
→
(
u
,
v
)
=
(
u
,
v
,
u
2
a
2
−
v
2
b
2
)
{\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}-{v^{2} \over b^{2}}\right)}
高斯曲率为：
K
(
u
,
v
)
=
−
4
a
2
b
2
(
1
+
4
u
2
a
4
+
4
v
2
b
4
)
2
{\displaystyle K(u,v)={-4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}}
平均曲率 为：
H
(
u
,
v
)
=
−
a
2
+
b
2
−
4
u
2
a
2
+
4
v
2
b
2
a
2
b
2
(
1
+
4
u
2
a
4
+
4
v
2
b
4
)
3
2
.
{\displaystyle H(u,v)={-a^{2}+b^{2}-{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}.}
如果把双曲抛物面
z
=
x
2
a
2
−
y
2
b
2
{\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}}
顺着+z 的方向旋转π/4的角度，则方程为：
z
=
1
2
(
x
2
+
y
2
)
(
1
a
2
−
1
b
2
)
+
x
y
(
1
a
2
+
1
b
2
)
{\displaystyle z={1 \over 2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left({1 \over a^{2}}-{1 \over b^{2}}\right)+xy\left({1 \over a^{2}}+{1 \over b^{2}}\right)}
如果
a
=
b
{\displaystyle \ a=b}
z
=
2
a
2
x
y
{\displaystyle z={2 \over a^{2}}xy}
最后，设
a
=
2
{\displaystyle a={\sqrt {2}}}
z
=
x
2
−
y
2
2
{\displaystyle z={x^{2}-y^{2} \over 2}}
与以下的曲面是全等的：
z
=
x
y
{\displaystyle \ z=xy}
因此它可以视为乘法表 的几何表示。
两个
R
2
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
z
1
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
2
{\displaystyle z_{1}(x,y)={x^{2}-y^{2} \over 2}}
和
z
2
(
x
,
y
)
=
x
y
{\displaystyle \ z_{2}(x,y)=xy}
是调和共轭 ，它们在一起形成解析函数
f
(
z
)
=
1
2
z
2
=
f
(
x
+
i
y
)
=
z
1
(
x
,
y
)
+
i
z
2
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(z)={1 \over 2}z^{2}=f(x+iy)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}
它是
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
1
2
x
2
{\displaystyle \ f(x)={1 \over 2}x^{2}}
解析延拓 。
Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.
Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.
Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.
Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.
Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.
