抛物面坐标系

抛物面坐标系（英语：Paraboloidal coordinates）是一种三维正交坐标系，是二维抛物线坐标系的推广。与大多数的三维正交坐标系的生成方法不同，抛物面坐标系不是由任何二维正交坐标系延伸或旋转生成的。

基本公式

从直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 变换至抛物面坐标 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ ：

x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}

、

y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}

、

z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)

；

其中，抛物面坐标遵守以下限制：

\lambda <B<\mu <A<\nu

。

$\lambda$ -坐标曲面是椭圆抛物面 (elliptic paraboloid) ：

{\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda

。

$\mu$ -坐标曲面是双曲抛物面：

{\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu

。

$\nu$ -坐标曲面也是椭圆抛物面：

{\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu

。

抛物面坐标的标度因子分别为

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}

、

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}

、

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}

。

无穷小体积元素等于

dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu

。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 、 $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用椭球坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 664. ISBN 0-07-043316-X.

Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 184–185.

Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180. ASIN B0000CKZX7.

Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 119–120.

Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.

Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Same as Morse & Feshbach (1953), 代替 u_k 为 ξ_k.

Moon P, Spencer DE. Paraboloidal Coordinates (μ,\ ν,\ λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0387184302.

查论编正交坐标系
二维正交坐标系	笛卡儿坐标系极坐标系抛物线坐标系双极坐标系椭圆坐标系
三维正交坐标系	直角坐标系圆柱坐标系球坐标系旋转抛物线坐标系抛物柱面坐标系抛物面坐标系扁球面坐标系长球面坐标系椭球坐标系椭圆柱坐标系圆环坐标系双球坐标系双极圆柱坐标系圆锥坐标系