三角形

三角形（英語： Triangle）
三角形（英語： Triangle）
	三角形
邊	3
頂點	3
施萊夫利符號	{3}（正三角形時）
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	trig
面積	有各種求面積的公式；; 見#面積一節
內角和	一百八十度
	閱; 論; 編;

三角形，又稱三邊形（英語： Triangle），是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連接，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。

一般用大寫英語字母 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 為三角形的頂點標號；用小寫英語字母 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 表示邊；用 $\alpha$ 、 $\beta$ 和 $\gamma$ 給角標號，又或者以 $\angle ABC$ 這樣的頂點標號來表示。

分類

以角度分類


銳角三角形	鈍角三角形	直角三角形

銳角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角。

鈍角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其餘兩角均小於90°。

直角三角形

有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」（cathetus），直角所對的邊是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

三角函數

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

以邊長分類


不等邊三角形	等邊三角形	等腰三角形

不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

等邊三角形

等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 $a$ ，則其面積公式為 ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

三角形的對邊

對邊是指一個角對面的那條邊。比如∠A的對邊就是BC，∠B的對邊就是AC，∠C的對邊就是AB。對邊測量是全站儀的一種專項測量功能，它可以間接測量兩個不可通視點之間的水平距離。該方法設站靈活，操作簡單，但它的測量精度沒有標註，需要通過計算求得。

等腰三角形

等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。

等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底邊是 $b$ ，腰是 $a$ ，則其面積公式為 ${\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}$ 等腰三角形的對應高，角平分線和中線重合。

退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三邊其中一條邊的長度為0；一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

勒洛三角形

勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛（英語：Franz Reuleaux）命名。

一般性質

三角不等式

三角邊長不等式
三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。
三角內外角不等式
三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

角度

三角形外角
三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
三角形內角和
在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

畢氏定理

畢氏定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 $c$ 為斜邊，即 $c$ 的對角 $\gamma =90^{\circ }$ ，則

a^{2}+b^{2}=c^{2}

。

畢氏定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

a^{2}+b^{2}=c^{2}

，

則

\gamma =90^{\circ }

正弦定理

設 $R$ 為三角形外接圓半徑，則

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

餘弦定理

對於任意三角形：

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .

畢氏定理是本定理的特殊情況，即當角 $\alpha =90^{\circ }\,$ 時， $\cos \alpha =0$ ，於是 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$ 化簡為 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 。

全等及相似

全等三角形

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。^[1]^{[註 1]}
AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。^[2]^:34^[3]

相似三角形

AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

特殊線段

三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

中線（median）：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
高線（altitude）：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
角平分線（angle bisector）：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

中線長度

設在 $\Delta ABC\,$ 中，若三邊 $a$ 、 $b$ 、 $c\,$ 的中線分別為 $m_{a}$ 、 $m_{b}$ 、 $m_{c}$ ，則：

m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}

m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}

m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}

高線長度

設在 $\Delta ABC\,$ 中，連接三個頂點 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 上的高分別記作 $h_{a}$ 、 $h_{b}$ 、 $h_{c}$ ，則：

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}

h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}

h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}

其中 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ 。

角平分線長度

設在 $\Delta ABC\,$ 中，若三個角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的角平分線分別為 $t_{a}$ 、 $t_{b}$ 、 $t_{c}$ ，則：

t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}

t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}

t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}

三角形的心

三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

名稱	定義	備註
內心	三個內角的角平分線的交點	該點為三角形內切圓的圓心。
外心	三條邊的中垂線的交點	該點為三角形外接圓的圓心。
垂心	三條高線的交點
形心（重心）	三條中線的交點	被交點劃分的線段比例為1:2（靠近角的一段較長）。

關於三角形的四心，有這樣的一首詩：

“

內心全靠角平分，

外心中點垂線伸，
垂心垂直畫三高，
形心角連線中心。

”

垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

名稱	定義	圖示	備註
旁心	外角的角平分線的交點		有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。

外接圓和內切圓半徑

設外接圓半徑為 $R$ ，內切圓半徑為 $r$ ，則：

R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}

r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}

其中 $\triangle$ 為三角形面積； $s$ 為三角形半周長， $s={\frac {a+b+c}{2}}$

面積

基本公式

三角形的面積 $A$ 是底邊 $b$ 與高 $h$ 乘積的一半，即：

A={\frac {1}{2}}bh

，

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

證明

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 $bh$ 的長方形。因此原來的三角形面積為

A={\frac {1}{2}}bh

。

證畢。

已知兩邊及其夾角

設 $a$ $b$ 為已知的兩邊， $\gamma$ 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：

A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }

。

證明

觀察右圖，根據正弦的定義：

\sin \gamma ={\frac {h}{a}}

。

因此：

h=a\sin \gamma

。

將此式代入基本公式，可得：

A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }

。

證畢。

已知兩角及其夾邊

$\beta$ 、 $\gamma$ 為已知的兩角， $a$ 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：

A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}

。

證明

從正弦定理可知：

{\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}

代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ，得：

A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}

。

注意到 $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ ，因此：

{\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}

證畢。

已知三邊長

海倫公式，其表示形式為：

A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}

，

其中 $s$ 等於三角形的半周長，即：

s={\frac {a+b+c}{2}}

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}

也有用冪和來表示的公式：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}

^{[註 2]}

證明

將海倫公式略為變形，知

16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]

多次使用平方差公式，得

{\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}

等號兩邊開根號，再同除以4，得

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}

基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 $a\geq b\geq c$ ，三角形面積為：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}

。

證明

設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三角形三條邊， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 為相應邊的對角。從餘弦定理可知：

\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

以畢氏三角恆等式可得：

\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}

。

將此式代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$ ，得：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}

。

因式分解及簡化後可得：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}

代入 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ ，即可證畢。

已知坐標系中三頂點坐標

由 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3})$ 三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示：

A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|

證明

無論三角形的頂點位置如何，該三角形總可以用一個直角梯形（或矩形）和兩個直角三角形面積的和差來表示，而在直角坐標系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的頂點的坐標，該三角形的面積容易求出，即用上述的行列式表示。

若三個頂點設在三維坐標繫上，即由 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}

已知周界及內切圓或外接圓半徑

設三角形三邊邊長分別為 $a$ 、 $b$ 及 $c$ ，三角形半周長（ ${\frac {a+b+c}{2}}$ ）為 $s$ ，內切圓半徑為 $r$ ，則：

A=sr

若設外接圓半徑為 $R$ ，則：

A={\frac {abc}{4R}}

證明

內切圓半徑公式

根據右圖，設 ${\overline {AB}}=c$ ， ${\overline {AC}}=b$ ， ${\overline {BC}}=a$ ，則三角形面積可表示為：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

{\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}

因此：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}

已知兩邊向量

設從一角出發，引出兩邊的向量為 $\mathbf {a}$ 及 $\mathbf {b}$ ，三角形的面積為：

A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |

證明

根據向量積定義， $|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma$ ，其中 $\gamma$ 是兩支向量的夾角。

因此：

{\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A

證畢。

半角定理

在三角形 $ABC\,$ 中，三個角的半角的正切和三邊有如下關係：

{\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}

證明

以正弦及餘弦之比表示正切：

\tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}

因為

\sin {\frac {A}{2}}>0

\tan {\frac {A}{2}}>0

所以

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}

={\sqrt {\frac {a^{2}-{\left(b-c\right)}^{2}}{4bc}}}

={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}}}

而

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}

={\sqrt {\frac {{\left(b+c\right)}^{2}-a^{2}}{4bc}}}

={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4bc}}}

所以

{\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\cfrac {(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt {\cfrac {(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}}\\&={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}}\end{aligned}}

同理可得

\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}

\tan {\frac {C}{2}}={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}

其他有關三角形的定理

註釋

^ 聯合SAS性質，可得「兩個直角三角形只要任兩邊（兩股，或一股一斜邊）對應地相等，即全等」。
^ 應用實例，如外森比克不等式的證明

參考資料

^ P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25
^ 黃德華. 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現. 臺灣數學教師. 2016, 37 (2): 17–49 [2022-01-26]. doi:10.6610/TJMT.20160629.01. （原始內容存檔於2022-01-26）. ⋯⋯SSO（O 是一鈍角）也是判斷全等三角形的正確條件
^ Mironychev, Alexander F. SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles. Journal of Mathematics and System Science. 2018, 8 (2): 59–66 [2022-01-26]. doi:10.17265/2159-5291/2018.02.003. （原始內容存檔於2022-01-26）.

參看

[2] 聯合SAS性質，可得「兩個直角三角形只要任兩邊（兩股，或一股一斜邊）對應地相等，即全等」。

[5] 應用實例，如外森比克不等式的證明

[1] P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25

[3] 黃德華. 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現. 臺灣數學教師. 2016, 37 (2): 17–49 [2022-01-26]. doi:10.6610/TJMT.20160629.01. （原始內容存檔於2022-01-26）. ⋯⋯SSO（O 是一鈍角）也是判斷全等三角形的正確條件

[4] Mironychev, Alexander F. SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles. Journal of Mathematics and System Science. 2018, 8 (2): 59–66 [2022-01-26]. doi:10.17265/2159-5291/2018.02.003. （原始內容存檔於2022-01-26）.

[1]

[註 1]

[2]

[3]

[註 2]

閱論編幾何學術語
點	頂點交點中點角同界角極值點最值點臨界點駐點鞍點
直線和曲線	線段射線直線切線（主）法線副法線曲線圓錐曲線雙曲線拋物線正弦曲線蚌線蝸線螺線（阿基米德螺線、等角螺線……）擺線（最速降線問題）懸鏈線曳物線漸開線漸屈線漸近線測地線邊周界弦弧矢垂直平分線代數曲線橢圓曲線超橢圓星形線三尖瓣線方圓形勒洛三角形
平面圖形	圓（廣義圓）橢圓扇形弓形環形多邊形三角形四邊形五邊形六邊形多邊形正多邊形梯形平行四邊形菱形矩形正方形鷂形卵形線梭形星形五角星六角星
立體圖形	多面體正多面體四面體長方體立方體平行六面體稜柱反稜柱稜錐稜台圓柱體圓錐圓台橢球（長球體、扁球體）球體球缺球冠球檯準線母線
曲面	二次曲面旋轉曲面拋物面雙曲面馬鞍面球面橢球面類球面環面莫比烏斯帶流形黎曼曲面
高維空間	超平面超面超曲面胞多胞形超球體超方形超立方體克萊因瓶四維柱體柱
圖形關係	相似全等對稱平行垂直相交相切相離鏡像旋轉反演截面縮放
三角形關係	相似三角形全等三角形
量	距離長度周長弧長高度面積表面積體積容積角度曲率撓率離心率凹凸性有向曲面可展曲面直紋曲面
作圖	尺直尺三角尺圓規尺規作圖二刻尺作圖
分支	平面幾何立體幾何三角學解析幾何微分幾何拓撲學圖論摺紙數學歐幾里得幾何非歐幾里得幾何（雙曲幾何、球面幾何……）碎形
理論	定理公理定義數學證明
分類主題共享資源專題

閱論編多邊形
1–10邊	一角形二角形三角形正三角形直角三角形等腰三角形不等邊三角形四邊形正方形矩形菱形鷂形梯形平行四邊形五邊形六邊形七邊形八邊形九邊形十邊形
11–20邊	十一邊形十二邊形十三邊形十四邊形十五邊形十六邊形十七邊形十八邊形十九邊形二十邊形
21–100邊（部分的）	二十一邊形（日語：二十一角形）二十二邊形（日語：二十二角形）二十三邊形（英語：Icositrigon）二十四邊形三十邊形（英語：Triacontagon）四十邊形（西班牙語：Tetracontágono）五十邊形（西班牙語：Pentacontágono）六十邊形（日語：六十角形）七十邊形（日語：七十角形）八十邊形（日語：八十角形）九十邊形（日語：九十角形）一百邊形（西班牙語：Hectágono）
>100邊	二百五十七邊形一千邊形一萬邊形（英語：Myriagon）六萬五千五百三十七邊形十萬邊形（匈牙利語：Százezerszög）一百萬邊形四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形無限邊形超無限邊形
複多邊形	複八邊形莫比烏斯-坎特八邊形
其他	空多胞形零角形扭歪無限邊形
星形多邊形	五角星六角星七角星八角星九角星十角星十一角星十二角星無限角星
分類	凸多邊形凹多邊形星形多邊形正多邊形退化多邊形基本多邊形簡單多邊形複雜多邊形扭歪多邊形複多邊形星狀多邊形等邊多邊形等角多邊形平行多邊形圓外切多邊形圓內接多邊形可作圖多邊形雙心多邊形