三角形

三角形（英语： Triangle）
三角形（英语： Triangle）
	三角形
边	3
顶点	3
施莱夫利符号	{3}（正三角形时）
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	trig
面积	有各种求面积的公式；; 见#面积一节
内角和	一百八十度
	查; 论; 编;

三角形，又称三边形（英语： Triangle），是由三条线段顺次首尾相连，或不共线的三点两两连接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少边的多边形。

一般用大写英语字母 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 为三角形的顶点标号；用小写英语字母 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 表示边；用 $\alpha$ 、 $\beta$ 和 $\gamma$ 给角标号，又或者以 $\angle ABC$ 这样的顶点标号来表示。

分类

以角度分类


锐角三角形	钝角三角形	直角三角形

锐角三角形

锐角三角形的所有内角均为锐角。

钝角三角形

钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小于90°。

直角三角形

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为“直角边”（cathetus），直角所对的边是“斜边”（hypotenuse）；或最长的边称为“弦”，底部的一边称作“勾”（又作“句”），另一边称为“股”。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab）

三角函数

直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。

以边长分类


不等边三角形	等边三角形	等腰三角形

不等边三角形

三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。

等边三角形

等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 $a$ ，则其面积公式为 ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ 。

等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。

三角形的对边

对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。

等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为“腰”，而另一条边被称为“底边”，两条腰交叉组成的那个点被称为“顶点”，它们组成的角被称为“顶角”。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 $b$ ，腰是 $a$ ，则其面积公式为 ${\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}$ 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

退化三角形

退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。

勒洛三角形

勒洛三角形（英语：Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师弗朗茨·勒洛（英语：Franz Reuleaux）命名。

一般性质

三角不等式

三角边长不等式
三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。
三角内外角不等式
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

角度

三角形外角
三角形两内角之和，等于第三角的外角。
三角形内角和
在欧几里德平面内，三角形的内角和等于180°。

毕氏定理

毕氏定理，又称毕氏定理或毕达哥拉斯定理。其断言，若直角三角形的其中一边 $c$ 为斜边，即 $c$ 的对角 $\gamma =90^{\circ }$ ，则

a^{2}+b^{2}=c^{2}

。

毕氏定理的逆定理亦成立，即若三角形满足

a^{2}+b^{2}=c^{2}

，

则

\gamma =90^{\circ }

正弦定理

设 $R$ 为三角形外接圆半径，则

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

余弦定理

对于任意三角形：

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .

毕氏定理是本定理的特殊情况，即当角 $\alpha =90^{\circ }\,$ 时， $\cos \alpha =0$ ，于是 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$ 化简为 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 。

全等及相似

全等三角形

三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种：

SSS（Side-Side-Side，边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等。
SAS（Side-Angle-Side，边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等。
ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等。
RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边）：在直角三角形中，斜边及一条直角边对应地相等。^[1]^{[注 1]}
AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且其中一组对应角的对边也对应地相等。

SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°，此时可以保证全等。^[2]^:34^[3]

相似三角形

AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中两个角的都对应地相等。（或称AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
三边成比例（3 sides proportional）：各三角形的三条边的长度都成同一比例。
两边成比例且夹角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的两条边之长度都成同一比例，且两条边之夹角都对应地相等。（或称 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

特殊线段

三角形中有着一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。

中线（median）：三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。
高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
垂直平分线（perpendicular bisector）：通过三角形一边中点与该边所垂直的线段，又称中垂线。

以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。

中线长度

设在 $\Delta ABC\,$ 中，若三边 $a$ 、 $b$ 、 $c\,$ 的中线分别为 $m_{a}$ 、 $m_{b}$ 、 $m_{c}$ ，则：

m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}

m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}

m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}

高线长度

设在 $\Delta ABC\,$ 中，连接三个顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 上的高分别记作 $h_{a}$ 、 $h_{b}$ 、 $h_{c}$ ，则：

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}

h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}

h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}

其中 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ 。

角平分线长度

设在 $\Delta ABC\,$ 中，若三个角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的角平分线分别为 $t_{a}$ 、 $t_{b}$ 、 $t_{c}$ ，则：

t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}

t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}

t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}

三角形的心

三角形的内心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)称为三角形的四心，定义如下：

名称	定义	备注
内心	三个内角的角平分线的交点	该点为三角形内切圆的圆心。
外心	三条边的中垂线的交点	该点为三角形外接圆的圆心。
垂心	三条高线的交点
形心（重心）	三条中线的交点	被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

“

内心全靠角平分，

外心中点垂线伸，
垂心垂直画三高，
形心角连线中心。

”

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线，与九点圆的圆心（红）四点共线，为垂心和形心线段的中点。

连同以下的旁心，合称为三角形的五心：

名称	定义	图示	备注
旁心	外角的角平分线的交点		有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

外接圆和内切圆半径

设外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，则：

R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}

r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}

其中 $\triangle$ 为三角形面积； $s$ 为三角形半周长， $s={\frac {a+b+c}{2}}$

面积

基本公式

三角形的面积 $A$ 是底边 $b$ 与高 $h$ 乘积的一半，即：

A={\frac {1}{2}}bh

，

其中的高是指底边与对角的垂直距离。

证明

从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 $bh$ 的长方形。因此原来的三角形面积为

A={\frac {1}{2}}bh

。

证毕。

已知两边及其夹角

设 $a$ $b$ 为已知的两边， $\gamma$ 为该两边的夹角，则三角形面积是：

A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }

。

证明

观察右图，根据正弦的定义：

\sin \gamma ={\frac {h}{a}}

。

因此：

h=a\sin \gamma

。

将此式代入基本公式，可得：

A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }

。

证毕。

已知两角及其夹边

$\beta$ 、 $\gamma$ 为已知的两角， $a$ 为该两角的夹边，则三角形面积是：

A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}

。

证明

从正弦定理可知：

{\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}

代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ，得：

A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}

。

注意到 $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ ，因此：

{\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}

证毕。

已知三边长

海伦公式，其表示形式为：

A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}

，

其中 $s$ 等于三角形的半周长，即：

s={\frac {a+b+c}{2}}

秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：

A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}

也有用幂和来表示的公式：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}

^{[注 2]}

证明

将海伦公式略为变形，知

16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]

多次使用平方差公式，得

{\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}

等号两边开根号，再同除以4，得

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}

基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 $a\geq b\geq c$ ，三角形面积为：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}

。

证明

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为三角形三条边， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 为相应边的对角。从余弦定理可知：

\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

以毕氏三角恒等式可得：

\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}

。

将此式代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$ ，得：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}

。

因式分解及简化后可得：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}

代入 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ ，即可证毕。

已知坐标系中三顶点坐标

由 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3})$ 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示：

A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|

证明

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。

若三个顶点设在三维坐标系上，即由 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即：

A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}

已知周界及内切圆或外接圆半径

设三角形三边边长分别为 $a$ 、 $b$ 及 $c$ ，三角形半周长（ ${\frac {a+b+c}{2}}$ ）为 $s$ ，内切圆半径为 $r$ ，则：

A=sr

若设外接圆半径为 $R$ ，则：

A={\frac {abc}{4R}}

证明

内切圆半径公式

根据右图，设 ${\overline {AB}}=c$ ， ${\overline {AC}}=b$ ， ${\overline {BC}}=a$ ，则三角形面积可表示为：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}

外接圆半径公式

根据正弦定理：

{\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}

因此：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}

已知两边向量

设从一角出发，引出两边的向量为 $\mathbf {a}$ 及 $\mathbf {b}$ ，三角形的面积为：

A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |

证明

根据向量积定义， $|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma$ ，其中 $\gamma$ 是两支向量的夹角。

因此：

{\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A

证毕。

半角定理

在三角形 $ABC\,$ 中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

{\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}

证明

以正弦及余弦之比表示正切：

\tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}

因为

\sin {\frac {A}{2}}>0

\tan {\frac {A}{2}}>0

所以

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}

={\sqrt {\frac {a^{2}-{\left(b-c\right)}^{2}}{4bc}}}

={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}}}

而

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}

={\sqrt {\frac {{\left(b+c\right)}^{2}-a^{2}}{4bc}}}

={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4bc}}}

所以

{\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\cfrac {(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt {\cfrac {(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}}\\&={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}}\end{aligned}}

同理可得

\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}

\tan {\frac {C}{2}}={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}

其他有关三角形的定理

注释

^ 联合SAS性质，可得“两个直角三角形只要任两边（两股，或一股一斜边）对应地相等，即全等”。
^ 应用实例，如外森比克不等式的证明

参考资料

^ P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25
^ 黄德华. 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現. 台湾数学教师. 2016, 37 (2): 17–49 [2022-01-26]. doi:10.6610/TJMT.20160629.01. （原始内容存档于2022-01-26）. ⋯⋯SSO（O 是一钝角）也是判断全等三角形的正确条件
^ Mironychev, Alexander F. SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles. Journal of Mathematics and System Science. 2018, 8 (2): 59–66 [2022-01-26]. doi:10.17265/2159-5291/2018.02.003. （原始内容存档于2022-01-26）.

参看

[2] 联合SAS性质，可得“两个直角三角形只要任两边（两股，或一股一斜边）对应地相等，即全等”。

[5] 应用实例，如外森比克不等式的证明

[1] P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25

[3] 黄德华. 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現. 台湾数学教师. 2016, 37 (2): 17–49 [2022-01-26]. doi:10.6610/TJMT.20160629.01. （原始内容存档于2022-01-26）. ⋯⋯SSO（O 是一钝角）也是判断全等三角形的正确条件

[4] Mironychev, Alexander F. SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles. Journal of Mathematics and System Science. 2018, 8 (2): 59–66 [2022-01-26]. doi:10.17265/2159-5291/2018.02.003. （原始内容存档于2022-01-26）.

[1]

[注 1]

[2]

[3]

[注 2]

查论编几何学术语
点	顶点交点中点角同界角极值点最值点临界点驻点鞍点
直线和曲线	线段射线直线切线（主）法线副法线曲线圆锥曲线双曲线抛物线正弦曲线蚌线蜗线螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）摆线（最速降线问题）悬链线曳物线渐开线渐屈线渐近线测地线边周界弦弧矢垂直平分线代数曲线椭圆曲线超椭圆星形线三尖瓣线方圆形勒洛三角形
平面图形	圆（广义圆）椭圆扇形弓形环形多边形三角形四边形五边形六边形多边形正多边形梯形平行四边形菱形矩形正方形鹞形卵形线梭形星形五角星六角星
立体图形	多面体正多面体四面体长方体立方体平行六面体棱柱反棱柱棱锥棱台圆柱体圆锥圆台椭球（长球体、扁球体）球体球缺球冠球台准线母线
曲面	二次曲面旋转曲面抛物面双曲面马鞍面球面椭球面类球面环面莫比乌斯带流形黎曼曲面
高维空间	超平面超面超曲面胞多胞形超球体超方形超立方体克莱因瓶四维柱体柱
图形关系	相似全等对称平行垂直相交相切相离镜像旋转反演截面缩放
三角形关系	相似三角形全等三角形
量	距离长度周长弧长高度面积表面积体积容积角度曲率挠率离心率凹凸性有向曲面可展曲面直纹曲面
作图	尺直尺三角尺圆规尺规作图二刻尺作图
分支	平面几何立体几何三角学解析几何微分几何拓扑学图论折纸数学欧几里得几何非欧几里得几何（双曲几何、球面几何……）分形
理论	定理公理定义数学证明
分类主题共享资源专题

查论编多边形
1–10边	一角形二角形三角形正三角形直角三角形等腰三角形不等边三角形四边形正方形矩形菱形鹞形梯形平行四边形五边形六边形七边形八边形九边形十边形
11–20边	十一边形十二边形十三边形十四边形十五边形十六边形十七边形十八边形十九边形二十边形
21–100边（部分的）	二十一边形（日语：二十一角形）二十二边形（日语：二十二角形）二十三边形（英语：Icositrigon）二十四边形三十边形（英语：Triacontagon）四十边形（西班牙语：Tetracontágono）五十边形（西班牙语：Pentacontágono）六十边形（日语：六十角形）七十边形（日语：七十角形）八十边形（日语：八十角形）九十边形（日语：九十角形）一百边形（西班牙语：Hectágono）
>100边	二百五十七边形一千边形一万边形（英语：Myriagon）六万五千五百三十七边形十万边形（匈牙利语：Százezerszög）一百万边形四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五边形无限边形超无限边形
复多边形	复八边形莫比乌斯-坎特八边形
其他	空多胞形零角形扭歪无限边形
星形多边形	五角星六角星七角星八角星九角星十角星十一角星十二角星无限角星
分类	凸多边形凹多边形星形多边形正多边形退化多边形基本多边形简单多边形复杂多边形扭歪多边形复多边形星状多边形等边多边形等角多边形平行多边形圆外切多边形圆内接多边形可作图多边形双心多边形