复平面 中一矩形区域之黎曼ζ函数
ζ
(
z
)
{\displaystyle \zeta (z)}
;此图用Matplotlib 程式绘图产生,使用到定义域着色 方法。[ 1]
黎曼泽塔函数 ,写作ζ(s ) 的定义如下:
设一复数 s 使得 Re(s ) > 1 ,则定义:
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
它亦可以用积分定义:
ζ
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x}
在区域 {s : Re(s ) > 1} 上,此无穷级数 收敛并为一全纯函数 。欧拉 在1740年考虑过 s 为正整数的情况,后来切比雪夫 拓展到 s > 1 。[ 2] 波恩哈德·黎曼 认识到:ζ函数可以通过解析延拓 ,把定义域 扩展到几乎整个复数域上的全纯函数 ζ(s ) 。这也是黎曼猜想 所研究的函数。
虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论 相关,它也出现在应用统计学 (参看齐夫定律 和齐夫-曼德尔布罗特定律 )、物理 ,以及调音 的数学理论中。
历史
奥里斯姆
ζ函数最早出现于1350年左右,尼克尔·奥里斯姆 发现了调和级数 发散,即:
ζ
(
1
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
.
.
.
→
∞
{\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...\to \infty }
奥里斯姆对调和级数发散的“证明”
ζ
(
1
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
.
.
.
=
1
+
1
2
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)
+
.
.
.
≥
1
+
1
2
+
(
1
4
+
1
4
)
+
(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
+
.
.
.
=
1
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
.
.
.
→
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (1)&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+...\\&=1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}})+...\\&\geq 1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}})+...\\&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+...\\&\to \infty \\\end{aligned}}}
欧拉
第n个调和数(蓝点)与Log(n)+γ(红线)的图像
之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉 ,他给出了调和级数呈对数发散。
欧拉对调和级数发散速度的证明[ 3]
为了求出调和级数的部分和,使用欧拉-麦克劳林求和公式 (当然,亦可使用阿贝尔求和公式 ):
∑
y
<
n
≤
x
f
(
n
)
=
∫
y
x
f
(
t
)
d
t
+
∫
y
x
(
t
−
⌊
t
⌋
)
f
′
(
t
)
d
t
+
f
(
x
)
(
⌊
x
⌋
−
x
)
−
f
(
y
)
(
⌊
y
⌋
−
y
)
{\displaystyle \sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{y}^{x}(t-\left\lfloor t\right\rfloor )f'(t)\,\mathrm {d} t+f(x)(\left\lfloor x\right\rfloor -x)-f(y)(\left\lfloor y\right\rfloor -y)}
∑
n
≤
x
1
n
=
1
+
∫
1
x
1
t
d
t
−
∫
1
x
(
t
−
⌊
t
⌋
)
t
2
d
t
+
⌊
x
⌋
−
x
x
=
1
+
ln
x
−
∫
1
x
(
t
−
⌊
t
⌋
)
t
2
d
t
+
O
(
1
x
)
=
1
+
ln
x
−
∫
1
∞
(
t
−
⌊
t
⌋
)
t
2
d
t
+
∫
x
∞
(
t
−
⌊
t
⌋
)
t
2
d
t
+
O
(
1
x
)
=
ln
x
+
1
−
∫
1
∞
(
t
−
⌊
t
⌋
)
t
2
d
t
+
∫
x
∞
{
t
}
t
2
d
t
+
O
(
1
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}&=1+\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{1}^{x}{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {\left\lfloor x\right\rfloor -x}{x}}\\&=1+\ln x-\int _{1}^{x}{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\&=1+\ln x-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\&=\ln x+1-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t+\mathrm {O} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\end{aligned}}}
注意到其中的
1
−
∫
1
∞
(
t
−
⌊
t
⌋
)
t
2
d
t
{\displaystyle 1-\int _{1}^{\infty }{\frac {(t-\left\lfloor t\right\rfloor )}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t}
是一个常数。实际上,这就是欧拉-马斯刻若尼常数 γ
再考虑剩下的一个积分,也就是
∫
x
∞
{
t
}
t
2
d
t
{\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t}
由于被积项非负,又有
{
t
}
≤
1
{\displaystyle \left\{t\right\}\leq 1}
,于是
∫
x
∞
{
t
}
t
2
d
t
≤
∫
x
∞
1
t
2
d
t
=
1
x
{\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\left\{t\right\}}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t\leq \int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{x}}}
最终得到
∑
n
≤
x
1
n
=
ln
x
+
γ
+
O
(
1
x
)
{\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}=\ln x+\gamma +\mathrm {O} ({\frac {1}{x}})}
除此之外,他还在1735年给出了巴塞尔问题 的解答,得到
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
的结果。欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题#欧拉的错误证明 中看到,然而那是他的第一个证明,因而广为人知。 事实上,那个证明虽有不严谨之处,但是欧拉仍然有自己的严格证明。[ 4]
欧拉对
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{smallmatrix}}}
的严格证明
下面将写出欧拉对上式的证明中缺失的严格论证的部分,即对连乘积公式的证明部分,而不涉及最终的系数比较
首先考虑当n为奇数时,将
z
n
−
a
n
{\displaystyle z^{n}-a^{n}}
分解为连乘积形式。
事实上,容易发现上式的全部复根为
a
,
a
e
2
π
i
1
n
,
a
e
2
π
i
2
n
,
.
.
.
,
a
e
2
π
i
n
−
1
n
{\displaystyle a,ae^{2\pi i{\frac {1}{n}}},ae^{2\pi i{\frac {2}{n}}},...,ae^{2\pi i{\frac {n-1}{n}}}}
由于n为奇数,所以可以将除了z=a外的其他根及其共轭一一配对,即 将共轭的根一一配对
a
e
2
π
i
k
n
,
a
e
2
π
i
n
−
k
n
=
a
e
−
2
π
i
k
n
{\displaystyle ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}},ae^{2\pi i{\frac {n-k}{n}}}=ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}}
看做一对, 则通过二次方程的韦达定理 可以还原出每对根的最小多项式:
按照韦达定理,有
x
1
+
x
2
=
−
a
1
a
0
=
a
e
2
π
i
k
n
+
a
e
−
2
π
i
k
n
=
cos
(
2
π
k
n
)
+
cos
(
−
2
π
k
n
)
=
2
cos
(
2
π
k
n
)
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {a_{1}}{a_{0}}}=ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}}+ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}=\cos \left(2\pi {\frac {k}{n}}\right)+\cos \left(-2\pi {\frac {k}{n}}\right)=2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)}
x
1
x
2
=
a
2
a
0
=
a
e
2
π
i
k
n
a
e
−
2
π
i
k
n
=
a
2
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {a_{2}}{a_{0}}}=ae^{2\pi i{\frac {k}{n}}}ae^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}=a^{2}}
由于最小多项式首项系数为1,故
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
,由此得到这对根最小多项式为
a
0
z
2
+
a
1
z
+
a
2
=
z
2
−
2
cos
(
2
π
k
n
)
z
+
a
2
{\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{1}z+a_{2}=z^{2}-2\cos \left({\tfrac {2\pi k}{n}}\right)z+a^{2}}
注意到k的取值上限为
n
−
1
2
{\displaystyle {\tfrac {n-1}{2}}}
,将每一对根的最小多项式相乘,
还有z=a这个根的最小多项式
z
−
a
{\displaystyle z-a}
,乘在一起,得到
z
n
−
a
n
=
(
z
−
a
)
∏
k
=
1
n
−
1
2
(
z
2
−
2
a
z
cos
2
k
π
n
+
a
2
)
{\displaystyle z^{n}-a^{n}=(z-a)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left(z^{2}-2az\cos {\frac {2k\pi }{n}}+a^{2}\right)}
令
z
=
1
+
x
N
,
a
=
1
−
x
N
,
N
=
n
{\displaystyle z=1+{\frac {x}{N}},a=1-{\frac {x}{N}},N=n}
,代入上式,有:
(
1
+
x
N
)
N
−
(
1
−
x
N
)
N
=
[
(
1
+
x
N
)
−
(
1
−
x
N
)
]
∏
k
=
1
N
−
1
2
[
(
1
+
x
N
)
2
−
2
(
1
+
x
N
)
(
1
−
x
N
)
cos
(
2
π
k
N
)
+
(
1
−
x
N
)
2
]
=
2
x
N
∏
k
=
1
N
−
1
2
[
2
+
2
x
2
N
2
−
2
(
1
−
x
2
N
2
)
cos
(
2
π
k
N
)
]
=
2
x
N
∏
k
=
1
N
−
1
2
[
2
+
2
x
2
N
2
−
2
cos
(
2
π
k
N
)
+
2
x
2
N
2
cos
(
2
π
k
N
)
]
=
4
x
N
∏
k
=
1
N
−
1
2
(
(
1
−
cos
(
2
π
k
N
)
)
+
(
1
+
cos
(
2
π
k
N
)
)
x
2
N
2
)
=
4
x
N
∏
k
=
1
N
−
1
2
{
[
1
−
cos
(
2
π
k
N
)
]
[
1
+
1
+
cos
(
2
π
k
N
)
1
−
cos
(
2
π
k
N
)
x
2
N
2
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}&=\left[\left(1+{\frac {x}{N}}\right)-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)\right]\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{2}-2\left(1+{\frac {x}{N}}\right)\left(1-{\frac {x}{N}}\right)\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)+\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {2x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[2+{\frac {2x^{2}}{N^{2}}}-2\left(1-{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right)\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)\right]\\&={\frac {2x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[{2+{\frac {2{x^{2}}}{N^{2}}}-2\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)+{\frac {2{x^{2}}}{N^{2}}}\cos({\frac {2\pi k}{N}})}\right]\\&={\frac {4x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({(1-\cos({\frac {2\pi k}{N}}))+(1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})){\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)\\&={\frac {4x}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left\{\left[1-\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)\right]\left[{1+{\frac {1+\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right]\right\}\\\end{aligned}}}
此时,上述乘积中的
4
N
∏
k
=
1
N
−
1
2
(
1
−
cos
(
2
π
k
N
)
)
{\displaystyle {\frac {4}{N}}\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}(1-\cos({\frac {2\pi k}{N}}))}
仅和N有关,记作
C
(
N
)
{\displaystyle C(N)}
,上式变为
(
1
+
x
N
)
N
−
(
1
−
x
N
)
N
=
C
(
N
)
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
(
1
+
1
+
cos
(
2
π
k
N
)
1
−
cos
(
2
π
k
N
)
x
2
N
2
)
{\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}={C(N)}x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({1+{\frac {1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)}
而利用二项式定理,将等式左边展开:
(
1
+
x
N
)
N
=
∑
k
=
0
N
C
N
k
x
k
N
k
{\displaystyle {(1+{\frac {x}{N}})^{N}}=\sum _{k=0}^{N}{C_{N}^{k}{\frac {x^{k}}{N^{k}}}}}
(
1
−
x
N
)
N
=
∑
k
=
0
N
(
−
1
)
k
C
N
k
x
k
N
k
{\displaystyle {(1-{\frac {x}{N}})^{N}}=\sum _{k=0}^{N}{{{(-1)}^{k}}C_{N}^{k}{\frac {x^{k}}{N^{k}}}}}
两式相减,考虑一次项,为
C
N
1
x
N
−
(
−
1
)
C
N
1
x
N
=
2
C
N
1
x
N
=
2
x
{\displaystyle C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}-(-1)C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}=2C_{N}^{1}{\frac {x}{N}}=2x}
这正是等式的左边的一次项
而等式右边的一次项只能是连乘积中的全部1与连乘积外的C(n)x相乘,为使两边相等,必须有
C
(
N
)
=
2
{\displaystyle C(N)=2}
,于是上式变为
(
1
+
x
N
)
N
−
(
1
−
x
N
)
N
=
2
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
(
1
+
1
+
cos
(
2
π
k
N
)
1
−
cos
(
2
π
k
N
)
x
2
N
2
)
{\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left({1+{\frac {1+\cos({\frac {2\pi k}{N}})}{1-\cos({\frac {2\pi k}{N}})}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}}\right)}
另一方面,令
θ
=
2
π
k
N
{\displaystyle \theta ={\frac {2\pi k}{N}}}
,有
cos
(
θ
)
=
1
−
θ
2
2
+
O
(
θ
3
)
{\displaystyle \cos(\theta )=1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} (\theta ^{3})}
于是,代入上式,得到
(
1
+
x
N
)
N
−
(
1
−
x
N
)
N
=
2
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
[
1
+
1
+
cos
(
2
π
k
N
)
1
−
cos
(
2
π
k
N
)
x
2
N
2
]
=
2
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
{
1
+
1
+
[
1
−
θ
2
2
+
O
(
θ
3
)
]
1
−
[
1
−
θ
2
2
+
O
(
θ
3
)
]
x
2
N
2
}
=
2
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
[
1
+
2
−
θ
2
2
+
O
(
θ
3
)
θ
2
2
+
O
(
θ
3
)
x
2
N
2
]
=
2
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
(
1
+
(
4
−
θ
2
+
O
(
θ
3
)
)
x
2
(
θ
2
+
O
(
θ
3
)
)
N
2
)
=
2
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
(
1
+
(
4
−
(
2
k
π
N
)
2
+
O
(
(
2
k
π
N
)
3
)
)
x
2
(
(
2
k
π
N
)
2
+
O
(
(
2
k
π
N
)
3
)
)
N
2
)
=
2
x
∏
k
=
1
N
−
1
2
(
1
+
(
4
−
(
2
k
π
N
)
2
+
O
(
(
2
k
π
N
)
3
)
)
x
2
(
2
k
π
)
2
+
O
(
(
2
k
π
)
3
N
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}-\left(1-{\frac {x}{N}}\right)^{N}&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[1+{\frac {1+\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}{1-\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right]\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left\{1+{\frac {1+\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right]}{1-\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right]}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right\}\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left[1+{\frac {2-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)}{{\frac {\theta ^{2}}{2}}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)}}{\frac {x^{2}}{N^{2}}}\right]\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\theta ^{2}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right)x^{2}}{\left(\theta ^{2}+\mathrm {O} \left(\theta ^{3}\right)\right)N^{2}}}\right)\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)x^{2}}{\left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)N^{2}}}\right)\\&=2x\prod _{k=1}^{\frac {N-1}{2}}\left(1+{\frac {\left(4-\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{2}+\mathrm {O} \left(\left({\frac {2k\pi }{N}}\right)^{3}\right)\right)x^{2}}{(2k\pi )^{2}+\mathrm {O} \left({\frac {(2k\pi )^{3}}{N}}\right)}}\right)\end{aligned}}}
令N→∞,则右端大O符号的诸项都变为无穷小。另一方面,左端可写为:
lim
N
→
∞
(
1
+
x
N
)
N
−
(
1
−
x
N
)
N
=
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \lim _{N\to \infty }(1+{\frac {x}{N}})^{N}-(1-{\frac {x}{N}})^{N}=e^{x}-e^{-x}}
于是上式变为
e
x
−
e
−
x
=
2
x
∏
k
=
1
∞
(
1
+
(
4
+
o
(
1
)
)
x
2
(
2
k
π
)
2
+
o
(
1
)
)
=
2
x
∏
k
=
1
∞
(
1
+
(
1
+
o
(
1
)
)
x
2
k
2
π
2
+
o
(
1
)
)
=
2
x
∏
k
=
1
∞
(
1
+
x
2
k
2
π
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}-e^{-x}&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {(4+o(1)){x^{2}}}{{{(2k\pi )}^{2}}+o(1)}}}\right)\ \\&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {(1+o(1)){x^{2}}}{{k^{2}}{\pi ^{2}}+o(1)}}}\right)\ \\&=2x\prod _{k=1}^{\infty }\left({1+{\frac {x^{2}}{{k^{2}}{\pi ^{2}}}}}\right)\ \\\end{aligned}}}
此时,只需比较左右两端展开式的三次项系数,即可得出结果。
对左式进行级数展开,可得:
e
x
−
e
−
x
=
−
∑
k
=
0
∞
(
−
x
)
k
−
x
k
k
!
{\displaystyle e^{x}-e^{-x}=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}-x^{k}}{k!}}}
其中当
k
=
3
{\displaystyle k=3}
时可提取左式的三次项为
2
x
3
3
!
{\displaystyle {\frac {2x^{3}}{3!}}}
。
同时展开右式可得右式的三次项为
(
∑
k
=
1
∞
2
k
2
π
2
)
x
3
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)x^{3}}
由于等式左右端相等,所以左右式三次项系数必须相等, 因此可得:
2
3
!
=
∑
k
=
1
∞
2
k
2
π
2
{\displaystyle {\frac {2}{3!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}\pi ^{2}}}}
化简可得:
π
2
6
=
∑
k
=
1
∞
1
k
2
=
ζ
(
2
)
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta \left(2\right)}
欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式 :
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
∏
p
(
1
−
1
p
s
)
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}(1-{\frac {1}{p^{s}}})^{-1}}
这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆,其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式 中看到。 通过这条公式,容易证明当
Re
(
s
)
>
1
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)>1\end{smallmatrix}}}
时,
ζ
(
s
)
>
0
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)>0\end{smallmatrix}}}
1749年,欧拉通过大胆的计算发现了(以下公式当中存在定义域谬误,后由黎曼透过解析延拓证明以下公式只适用于 Re(s ) > 1 )[ 5]
ζ
(
−
1
)
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
.
.
.
=
−
1
12
{\displaystyle \zeta (-1)=1+2+3+4+5+...=-{\frac {1}{12}}}
ζ
(
−
2
)
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
4
2
+
5
2
+
.
.
.
=
0
{\displaystyle \zeta (-2)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+...=0}
ζ
(
−
3
)
=
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
+
5
3
+
.
.
.
=
1
120
{\displaystyle \zeta (-3)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+...={\frac {1}{120}}}
发现ζ(s)与ζ(1-s)之间存在某些关系。
黎曼
波恩哈德·黎曼 对ζ解析延拓,用于素数的分布理论
将欧拉所做的一切牢牢地置于坚石之上的是黎曼,他在1859年的论文论小于给定数值的素数个数 以及未发表的手稿中做出了多项进展:[ 6]
第一积分表示:
ζ
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}
完备化的ζ,即黎曼ξ函数 :
ξ
(
s
)
=
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}
,满足函数方程
ξ
(
s
)
=
ξ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}
第二积分表示:
φ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
e
−
π
n
2
x
{\displaystyle \varphi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\pi n^{2}x}}
,则
ξ
(
s
)
=
∫
0
∞
φ
(
x
)
x
s
2
−
1
d
x
{\displaystyle \xi (s)=\int _{0}^{\infty }\varphi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} x}
黎曼 - 冯·曼戈尔特公式 :以
0
<
N
(
T
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}}
表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则
N
(
T
)
=
T
2
π
log
T
2
π
−
T
2
π
+
O
(
log
T
)
{\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)}
黎曼猜想 :ζ函数的所有非平凡零点的实部非常有可能均为
1
2
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}}
第三积分表示:
ζ
(
s
)
=
1
2
π
i
Γ
(
1
−
s
)
∮
γ
z
s
−
1
e
z
1
−
e
z
d
z
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z}
,其中围道γ逆时针环绕负实轴
第三积分表示的围道γ
黎曼-西格尔公式 :给出计算ξ函数的数值的方法
零点的计算:计算了虚部介于0与100的所有零点的数值
素数的分布公式:引入黎曼素数计数函数 ,给出了它与ζ函数的关系
阿达马与普森
ζ(1+it)的图像,蓝色为实部,黄色为虚部
1896年,雅克·阿达马 与普森 几乎同时地证明了
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}
的所有非平凡零点的实部均小于1,即
Re
(
s
)
=
1
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)=1\end{smallmatrix}}}
上无非平凡零点,从而完成了素数定理 的证明。
希尔伯特
1900年,希尔伯特 在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,提出了23道最重要的数学问题,黎曼假设在其中作为第8题出现。 之后,希尔伯特提出了希尔伯特-波利亚猜想 ,具体时间及场合未知。
玻尔与兰道
虚部介于0与T的零点数量(蓝点)与黎曼-冯·曼格尔特公式(红线)的图像
1914年,哈那德·玻尔 和爱德蒙·兰道 证明了玻尔-兰道定理 :含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点,表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。
哈代与李特尔伍德
1921年,哈代 和李特尔伍德 证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为
K
T
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}KT\end{smallmatrix}}}
。
塞尔伯格
1942年,阿特勒·塞尔伯格 更进一步,证明了存在常数T,使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为
K
T
log
T
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}KT\log T\end{smallmatrix}}}
,这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度,而临界线
Re
(
s
)
=
1
2
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}}
对于临界带
0
<
Re
(
s
)
<
1
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} (s)<1\end{smallmatrix}}}
的测度为0。
解析延拓
对ζ函数解析延拓时使用的围道
ζ函数原本定义在右半平面
Re
s
>
1
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {Re} s>1\end{smallmatrix}}}
上,并且在此区域内为全纯函数
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}
(
Re
s
>
1
)
{\displaystyle (\operatorname {Re} s>1)}
解析延拓后在全局具有积分表达式
ζ
(
s
)
=
1
2
π
i
Γ
(
1
−
s
)
∮
γ
z
s
−
1
e
z
1
−
e
z
d
z
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{2\pi i}}\Gamma (1-s)\oint _{\gamma }{\frac {{z^{s-1}}{e^{z}}}{1-{e^{z}}}}\,\mathrm {d} z}
满足函数方程
ζ
(
1
−
s
)
=
2
(
2
π
)
−
s
Γ
(
s
)
cos
(
π
s
2
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)}
特别地,如果考虑正规化的ζ,即黎曼ξ函数
ξ
(
s
)
=
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}
那么它满足函数方程
ξ
(
s
)
=
ξ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}
和数论函数的关系
黎曼ζ函数可看做是具有如下形式的级数的一个特例:
F
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle \operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
这种类型的级数被称作狄利克雷级数 。当f为狄利克雷特征 时,又称作狄利克雷L函数 ,也有与黎曼猜想 相应的广义黎曼猜想
为了方便对数论函数 作讨论,此处引入狄利克雷卷积
f
∗
g
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}f*g\end{smallmatrix}}}
:
(
f
∗
g
)
(
n
)
=
∑
pq
=
n
f
(
p
)
g
(
q
)
{\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{{\text{pq}}=n}f(p)g(q)}
设
F
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle \operatorname {F} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
,
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
g
(
n
)
n
s
{\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}}
于是显然
F
(
s
)
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
f
∗
g
)
(
n
)
n
s
{\displaystyle \operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}}
并不直觉?请看证明
事实上,
F
(
s
)
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
∑
m
=
1
∞
g
(
m
)
m
s
=
∑
n
=
1
∞
∑
m
=
1
∞
f
(
n
)
g
(
m
)
(
n
m
)
s
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} (s)\operatorname {G} (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {g(m)}{m^{s}}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(n)g(m)}{(nm)^{s}}}\\\end{aligned}}}
为了处理两个求和号,将所有可能的m与n的积相同的项合并,不妨设mn=k,那么
∑
m
=
1
∞
f
(
n
)
g
(
m
)
(
n
m
)
s
=
∑
k
=
1
∞
∑
mn
=
k
f
(
m
)
g
(
n
)
(
m
n
)
s
=
∑
k
=
1
∞
∑
mn
=
k
f
(
m
)
g
(
n
)
k
s
=
∑
k
=
1
∞
(
∑
mn
=
k
f
(
m
)
g
(
n
)
)
k
−
s
=
∑
k
=
1
∞
(
f
∗
g
)
(
k
)
k
−
s
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(n)g(m)}{(nm)^{s}}}&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{\text{mn}}=k}{\frac {f(m)g(n)}{(mn)^{s}}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{\text{mn}}=k}{\frac {f(m)g(n)}{k^{s}}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }(\sum _{{\text{mn}}=k}f(m)g(n))k^{-s}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }(f*g)(k)k^{-s}\\\end{aligned}}}
于是,如果数论函数
h
=
1
∗
g
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}h=1*g\end{smallmatrix}}}
,亦即
h
(
n
)
=
∑
d
‖
n
g
(
d
)
{\displaystyle h(n)=\sum _{d\|n}g(d)}
(此时,
h
(
n
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}}
与
g
(
d
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(d)\end{smallmatrix}}}
可通过默比乌斯反演公式 相互转换) 那么
H
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
h
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
)
∑
n
=
1
∞
g
(
n
)
n
s
{\displaystyle \operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}}
通常两侧的求和有一个是相对简单的函数,或是和
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}
直接相关的函数 如果对
g
(
n
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}}
的求和较简单,可以将
h
(
n
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}h(n)\end{smallmatrix}}}
与
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}
相联系,反之可以将
g
(
n
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}g(n)\end{smallmatrix}}}
与
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}
相联系 即
∑
n
=
1
∞
g
(
n
)
n
s
=
H
(
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}={\frac {\operatorname {H} (s)}{\zeta (s)}}}
, 如下表所示:
目标函数名
g(n)
h(n)
G(s)或H(s)
g(n)或h(n)与ζ函数的联系
莫比乌斯函数
μ
(
n
)
=
μ
(
p
1
a
1
p
2
a
2
.
.
.
p
k
a
k
)
=
{
(
−
1
)
k
a
1
=
a
2
=
.
.
.
=
a
k
0
o
t
h
e
r
w
i
s
e
{\displaystyle \mu (n)=\mu (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}})={\begin{cases}(-1)^{k}&a_{1}=a_{2}=...=a_{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}
⌊
1
n
⌋
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {1}{n}}\right\rfloor }
H
(
s
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {H} (s)=1}
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
=
1
ζ
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
欧拉函数
φ
(
n
)
=
Card
{
k
|
k
<
n
,
(
k
,
n
)
=
1
}
{\displaystyle \varphi (n)=\operatorname {Card} \{k\,\,|k<n,\,(k,n)=1\}\quad }
n
{\displaystyle n}
H
(
s
)
=
ζ
(
s
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {H} (s)=\zeta (s-1)}
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}
除数函数
n
α
{\displaystyle n^{\alpha }}
σ
α
(
n
)
=
∑
d
|
n
d
α
{\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d|n}d^{\alpha }}
G
(
s
)
=
ζ
(
s
−
α
)
{\displaystyle \operatorname {G} (s)=\zeta (s-\alpha )}
H
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
σ
α
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
−
α
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {H} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{\alpha }(n)}{n^{s}}}=\zeta (s-\alpha )\zeta (s)}
刘维尔函数
μ
(
n
)
=
μ
(
p
1
a
1
p
2
a
2
.
.
.
p
k
a
k
)
=
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
k
{\displaystyle \mu (n)=\mu (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}})=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}
{
1
n
=
m
2
0
o
t
h
e
r
w
i
s
e
{\displaystyle {\begin{cases}1&n=m^{2}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}
H
(
s
)
=
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \operatorname {H} (s)=\zeta (2s)}
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
2
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}}
冯·曼戈尔特函数
Λ
(
n
)
=
{
log
(
p
)
n
=
p
k
0
o
t
h
e
r
w
i
s
e
{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}
log
n
{\displaystyle \log n}
H
(
s
)
=
ζ
′
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {H} (s)=\zeta '(s)}
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
s
=
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \operatorname {G} (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}
佩龙公式
ζ函数与数论函数存在的联系可以通过佩龙公式 转化为它和数论函数的求和的关系:设
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
g
(
n
)
{\displaystyle G(s)={\sum _{n=1}^{\infty }}g(n)}
则由佩龙公式,
A
(
x
)
=
∑
n
≤
x
′
g
(
n
)
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
G
(
z
)
x
z
z
d
z
{\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'g(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }G(z){\frac {x^{z}}{z}}\,\mathrm {d} z}
其中右上角的'表示如果x是整数,那么求和的最后一项要乘以
1
2
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}}}
。 这样做的其中一个结果就是ζ函数和素数分布的关系。
和素数的关系
此函数和素数 的关系已由欧拉 所揭示:
ζ
(
s
)
=
∏
p
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
这是一个延展到所有的素数p 的无穷乘积 ,被称为欧拉乘积 。这是几何级数 的公式和算术基本定理 的一个结果。 如果对上式取对数,则可得到
log
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
∑
p
p
−
n
s
{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{p}p^{-ns}}
更进一步的联系
黎曼阶梯素数计数函数
黎曼素数计数函数(蓝色)J(x)与对数积分(金色)Li(x)的图像,x<300
黎曼素数计数函数(蓝点)J(x)与对数积分(红线)Li(x)的图像,x<1 000 000
可以使用黎曼素数计数函数
J
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}
建立
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}
与素数分布的进一步联系,这也是黎曼 在他的论文论小于给定数值的素数个数 中使用的函数,定义如下:
J
(
x
)
=
∑
n
≤
x
κ
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)}
其中
κ
(
n
)
=
{
1
k
n
=
p
k
0
o
t
h
e
r
w
i
s
e
{\displaystyle \kappa (n)={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}
那么可以建立
J
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}
与
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}
的零点ρ的联系,称为黎曼显式公式
J
(
x
)
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
log
ζ
(
s
)
x
s
s
d
s
=
Li
(
x
)
−
∑
ρ
Li
(
x
ρ
)
+
∫
x
∞
1
t
(
t
2
−
1
)
log
(
t
)
d
x
−
log
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {J} (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\log \zeta (s){\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t(t^{2}-1)\log(t)}}\,\mathrm {d} x-\log 2\\\end{aligned}}}
而
J
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}
与
π
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\pi (x)\end{smallmatrix}}}
的联系可以通过莫比乌斯反演公式 完成。
π
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
J
(
x
)
=
J
(
x
)
+
O
(
x
log
log
x
)
{\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {J} (x)=\operatorname {J} (x)+\mathrm {O} ({\sqrt {x}}\log \log x)}
然而
J
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}
的表达式过于复杂,如下的切比雪夫函数 更为常用。
切比雪夫函数
第二切比雪夫函数(蓝线)ψ(x)与y=x(金线)的图像,x<300
第二切比雪夫函数(蓝点)ψ(x)与y=x(红线)的图像,x<1 000 000
第一切比雪夫函数
ϑ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\vartheta (x)\end{smallmatrix}}}
定义为
ϑ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
log
p
{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}
而更常用的第二切比雪夫函数
ψ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}}
定义为
ψ
(
x
)
=
∑
p
k
≤
x
log
p
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
=
∑
p
≤
x
⌊
log
p
x
⌋
log
p
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p}
其中,如前文定义的
Λ
(
n
)
=
{
log
(
p
)
n
=
p
k
0
o
t
h
e
r
w
i
s
e
{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&n=p^{k}\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}
第二切比雪夫函数与第一切比雪夫函数的关系,可看做“等同于”黎曼素数计数函数与素数计数函数的关系。 第二切比雪夫函数
ψ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}}
与
ζ
(
s
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\zeta (s)\end{smallmatrix}}}
的零点ρ有如下的联系
ψ
(
x
)
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
x
s
s
d
s
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
=
x
−
∑
ρ
x
ρ
ρ
−
1
2
log
(
1
−
1
x
2
)
−
log
(
2
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}{\frac {x^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\\&=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\log(1-{\frac {1}{x^{2}}})-\log(2\pi )\\\end{aligned}}}
而
ψ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\psi (x)\end{smallmatrix}}}
与
J
(
x
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {J} (x)\end{smallmatrix}}}
的联系可以通过阿贝尔求和公式 :
ψ
(
x
)
=
∑
n
=
p
k
≤
x
log
p
=
ψ
(
x
)
=
∑
n
=
p
k
≤
x
1
k
log
n
=
∑
n
≤
x
κ
(
n
)
log
n
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}\log p=\psi (x)=\sum _{n=p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}\log n=\sum _{n\leq x}{\frac {\kappa (n)}{\log n}}}
其中κ如前文所定义,则由阿贝尔求和公式
J
(
x
)
=
∑
n
≤
x
κ
(
n
)
=
ψ
(
x
)
log
x
+
∫
2
x
ψ
(
t
)
t
2
log
t
d
t
=
ψ
(
x
)
log
x
+
O
(
x
log
2
x
)
{\displaystyle \operatorname {J} (x)=\sum _{n\leq x}\kappa (n)={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}\log t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\psi (x)}{\log x}}+\mathrm {O} ({\frac {x}{\log ^{2}x}})}
零点
解析延拓之后的ζ函数具有零点,他们分别是分布有序的平凡零点(所有负偶数),以及临界带
0
<
Re
s
<
1
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {Re} s<1\end{smallmatrix}}}
内的非平凡零点。 以
N
(
T
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}}
表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则
0
<
N
(
T
)
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}0<\operatorname {N} (T)\end{smallmatrix}}}
遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式 :
N
(
T
)
=
T
2
π
log
T
2
π
−
T
2
π
+
O
(
log
T
)
{\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+\mathrm {O} (\log T)}
。
函数值
黎曼函数在s > 1的情况
ζ函数满足如下函数方程:
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}
对于所有C \{0,1}中的s 成立。这里,Γ表示Γ函数 。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1,ζ函数有一个简单极点 其留数 为1。上述方程中有sin函数,
sin
(
π
s
2
)
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}
的零点为偶数s = 2n ,这些位置是可能的零点,但s为正偶数时,
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)}
为不为零的规则函数 ,只有s为负偶数时,ζ函数才有零点,称为平凡 零点。
当s为正整数
欧拉计算出ζ(2k ),对于偶整数 2k ,使用公式
ζ
(
2
k
)
=
B
2
k
(
−
1
)
k
+
1
(
2
π
)
2
k
2
(
2
k
)
!
{\displaystyle \zeta (2k)={\frac {B_{2k}(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}}
其中B 2k 是伯努利数 。从这个,我们可以看到ζ(2) = π2 /6, ζ(4) = π4 /90, ζ(6) = π6 /945等等。(OEIS 中的序列A046988 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )/A002432 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ))。这些给出了著名的π 的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。拉马努金 在这上面做了很多了不起的工作。
s
{\displaystyle s\,}
为正偶数时的函数值公式已经由欧拉 计算出。但当
s
{\displaystyle s\,}
为正奇数时,尚未找到封闭式。
ζ
(
1
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
=
∞
;
{\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty ;\!}
这是调和级数 。
ζ
(
3
2
)
≈
2.612
;
{\displaystyle \zeta \left({\frac {3}{2}}\right)\approx 2.612;\!}
A078434
该值用于计算具有周期性边界条件的玻色-爱因斯坦凝聚 的临界温度以及磁系统的自旋波物理。
ζ
(
2
)
=
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
=
π
2
6
≈
1.645
;
{\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!}
A013661
即巴塞尔问题 。这个结果的倒数回答了这个问题:随机选取两个数字而互质的概率是多少?[ 7]
ζ
(
3
)
=
1
+
1
2
3
+
1
3
3
+
⋯
≈
1.202
;
{\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.202;\!}
A002117
称为阿培里常数 。
ζ
(
4
)
=
1
+
1
2
4
+
1
3
4
+
⋯
=
π
4
90
≈
1.0823
;
{\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!}
A0013662
黑体辐射 里的斯特藩-玻尔兹曼定律 和维恩近似 。
s趋近于1
lim
ε
→
0
ζ
(
1
+
ε
)
+
ζ
(
1
−
ε
)
2
=
γ
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma }
其中γ是欧拉-马歇罗尼常数 =
0.577215...
{\displaystyle 0.577215...}
负整数
同样由欧拉发现,ζ函数在负整数点的值是有理数,这在模形式中发挥着重要作用,而且ζ函数在负偶整数点的值为零。
事实上
ζ
(
−
n
)
=
−
B
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}
B n 是白努利数 。
因为 B 2n +1 =0,故ζ函数在负偶整数点的值为零。
复数值
ζ
(
x
+
i
y
)
=
∑
k
=
1
∞
cos
(
y
ln
k
)
−
i
sin
(
y
ln
k
)
k
x
,
y
∈
R
{\displaystyle \zeta (x+{\rm {i}}y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(y\ln k)-{\rm {i}}\sin(y\ln k)}{k^{x}}},y\in {\mathbb {R} }}
,x>1。
幅角
arg
[
ζ
(
x
+
i
y
)
]
=
−
arctan
∑
k
=
1
∞
sin
(
y
ln
k
)
k
x
∑
k
=
1
∞
cos
(
y
ln
k
)
k
x
{\displaystyle \arg[\zeta (x+{\rm {i}}y)]=-\arctan {\frac {\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(y\ln k)}{k^{x}}}}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(y\ln k)}{k^{x}}}}}}
,
函数值表
ζ
(
−
2
n
n
∈
Z
+
)
=
0
{\displaystyle \zeta (-2n_{n\in \mathbb {Z} ^{+}})=0}
,
ζ
(
−
9
)
=
−
1
132
(
R
)
{\displaystyle \zeta (-9)=-{\frac {1}{132}}({\mathfrak {R}})}
,
ζ
(
−
7
)
=
1
240
(
R
)
{\displaystyle \zeta (-7)={\frac {1}{240}}({\mathfrak {R}})}
,
ζ
(
−
5
)
=
−
1
252
(
R
)
{\displaystyle \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}({\mathfrak {R}})}
,
ζ
(
−
3
)
=
1
120
(
R
)
{\displaystyle \zeta (-3)={\frac {1}{120}}({\mathfrak {R}})}
,
ζ
(
−
1
)
=
−
1
12
(
R
)
{\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}({\mathfrak {R}})}
,
ζ
(
0
)
=
−
1
2
{\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}}
,
ζ
(
1
−
)
=
−
∞
{\displaystyle \zeta (1^{-})=-\infty }
,
ζ
(
1
+
)
=
∞
{\displaystyle \zeta (1^{+})=\infty }
,
ζ
(
2
)
=
π
2
6
{\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
,
ζ
(
4
)
=
π
4
90
{\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
,
ζ
(
6
)
=
π
6
945
{\displaystyle \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}}
,
ζ
(
8
)
=
π
8
9450
{\displaystyle \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}
,
ζ
(
10
)
=
π
10
93555
{\displaystyle \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}}
,
临界线上的数值计算
临界线上的数值计算可以通过黎曼-西格尔公式 完成。 与之相关的,林德勒夫猜想 :对于任意给定的实数
ϵ
>
0
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\epsilon >0\end{smallmatrix}}}
,
ζ
(
1
2
+
i
t
)
=
O
(
t
ϵ
)
{\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=\mathrm {O} (t^{\epsilon })}
相关条目
参考资料