阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现,广泛应用于数论之中,以便用来计算级数。
恒等式
设为一列由实数或複數,是一個連續可導函数,则
其中是部分和
而且这正是對黎曼-斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。
更一般情況,有
例
欧拉-马斯刻若尼常数
设,,則,恆等式變為
因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。
黎曼ζ函数的表示
设,,則,故
公式在時成立,并且可以用来推导狄利克雷定理,其斷言,若以表示黎曼ζ函数,則在s = 1處有留数为1的简单極點。
黎曼ζ函数的倒数
设,為默比乌斯函数,且,則,故為梅滕斯函数,而恆等式變成
上式在時成立。
参见
参考文献