无平方因子数

无平方因子数（英语：square-free integer）是指其约数中，没有一个是平方数的正整数。简言之，将一个这样的数予以素因数分解后，所有素因数的幂都不会大于或等于2。例如：54=${\displaystyle }$$2\times 3^{3}$，由于54有约数是平方数（$3^{2}=9$），所以54不是无平方因子数；而55=${\displaystyle }$$5\times 11$，55没有约数是平方数，所以55是无平方因子数。

以数学概念说明：若一个数$R$是无平方因子数，则对于任意平方数$S^{2}$且$S^{2}\leq R$则$S^{2}\nmid R$；或者说当$R=P_{1}P_{2}P_{3}...P_{n}$且$P_{1},P_{2},P_{3},...,P_{n}$皆为素数时，对于任意$1\leq i,j\leq n$，$i\neq j$而言，$P_{i}\neq P_{j}$

另一方面，默比乌斯函数$\mu (n)\neq 0$当且仅当$n\geq 1$且$n=1$或$n$为无平方因子数时

前20个无平方约数的数是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31（OEIS数列A005117）

由于无平方因子数的所有素因数指数均为一次方，故除1以外，有关数的正约数数目必定是2的非负整数次方。

将无平方因子数分解为两数之积，这两数一定互素。

依定义，显然所有的素数、楔形数、素数阶乘与有4个正约数的半素数都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

$Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})$

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

$\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}$

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

$\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.$