無平方因子數[1](英語:square-free integer)是指其因數中,沒有一個是平方數的正整數。簡言之,將一個這樣的數予以質因數分解後,所有質因數的冪都不會大於或等於2。例如:54=![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
,由於54有因數是平方數(
),所以54不是無平方因子數;而55=![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
,55沒有因數是平方數,所以55是無平方因子數。
以數學概念說明:若一個數
是無平方因子數,則對於任意平方數
且
則
;或者說當
且
皆為質數時,對於任意
,
而言,
另一方面,默比烏斯函數
當且僅當
且
或
為無平方因子數時
前20個無平方因數的數是:1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31(OEIS數列A005117)
由於無平方因子數的所有質因數指數均為一次方,故除1以外,有關數的正因數數目必定是2的非負整數次方。
將無平方因子數分解為兩數之積,這兩數一定互質。[查證請求][來源請求][原創研究?]
依定義,顯然所有的質數、楔形數、質數階乘與有4個正因數的半質數都是無平方因子數。
不含平方因子的數的分布
如果用Q(x)來表示1和x之間的不含平方因子的數,則:
![{\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3eedca12972f94aa54ac04770f8f3f4d0f6e63)
因此,不含平方因子的數的自然密度為:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9faa8937914b7f67359a992960b87d7bed62ec2b)
其中ζ是黎曼ζ函數。
類似地,如果用Q(x,n)來表示1和x之間的不含n次方因子的數,則我們可以證明:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f79865040e47990d8c30e6fd161bb227c5bc20)
參考文獻
和因數有關的整數分類 |
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