无平方因子数[1](英语:square-free integer)是指其因数中,没有一个是平方数的正整数。简言之,将一个这样的数予以质因数分解后,所有质因数的幂都不会大于或等于2。例如:54=,由于54有因数是平方数(),所以54不是无平方因子数;而55=,55没有因数是平方数,所以55是无平方因子数。
以数学概念说明:若一个数是无平方因子数,则对于任意平方数且则;或者说当且皆为质数时,对于任意,而言,
另一方面,默比乌斯函数当且仅当且或为无平方因子数时
前20个无平方因数的数是:1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31(OEIS数列A005117)
由于无平方因子数的所有质因数指数均为一次方,故除1以外,有关数的正因数数目必定是2的非负整数次方。
将无平方因子数分解为两数之积,这两数一定互质。[查证请求][来源请求][原创研究?]
依定义,显然所有的质数、楔形数、质数阶乘与有4个正因数的半质数都是无平方因子数。
不含平方因子的数的分布
如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数,则:
因此,不含平方因子的数的自然密度为:
其中ζ是黎曼ζ函数。
类似地,如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数,则我们可以证明:
参考文献
和因数有关的整数分类 |
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简介 | | |
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依因数分解分类 | |
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依因数和分类 | |
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有许多因数 | |
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和真因子和数列有关 | |
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其他 | |
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