結式是數學中一個常用的不變量。考慮域
上兩個多項式
,設其首項係數分別為
,則其結式定義為
![{\displaystyle \mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420db1c373e2f29d0ceacaef9b61b7d2097db394)
其中
為
的給定代數閉包。由此定義的結式是
的元素,而與代數閉包的選取無關。
計算方式
- 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
- 為簡單起見,假設
首項係數為一;若
是可分多項式(換言之:無重根),則定義可改寫為
![{\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b149fbfbe4110a1ae0da3be570f8dfc95178e5e9)
- 此式僅依賴於
除以
的餘式。
性質
![{\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153156e9c5a6bf6e5d15171410bbd7e97e76b2dd)
![{\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485def83f1185ca62263fa916b133434b71aec31)
- 若
且
,那麼
。在論及計算方式時已利用此性質。
- 若
同次,
,則有
![{\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b642477383d69fb5583dcde5eeb89e2cfb7096)
,其中
。
應用
- 一多項式
與其導數
的結式可由判別式
表示:設
的首項係數為
,則
。
外部連結