西尔维斯特矩阵

西尔维斯特矩阵，是与两个多项式相关的矩阵，从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。

定义

设p和q为两个多项式，次数分别为m和n。因此：

p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.

于是，与p和q相关的西尔维斯特矩阵，就是通过以下方法得到的矩阵 $(n+m)\times (n+m)$ ：

{\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.

{\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.

因此，如果我们设m=4和n=3，则矩阵为：

S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.

西尔维斯特矩阵用于交换代数中，例如测试两个多项式是否有一个（非常数）公因式。确实，在这种情况下，相关的西尔维斯特矩阵的行列式（称为两个多项式的结式）等于零。反过来也成立。

以下线性方程组的解

{S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

其中 $x$ 是大小为 $n$ 的向量， $y$ 是大小为 $m$ 的向量，由满足下式的多项式对 $x,y$ （次数分别为 $n-1$ 和 $m-1$ ）的系数向量构成：

x\cdot p+y\cdot q=1

这就是说，西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解，其中 $\deg x<\deg q$ 且 $\deg y<\deg p$ 。

这样，西尔维斯特矩阵的秩决定了 $p$ 和 $q$ 的最大公因式的次数：

\deg(\gcd(p,q))=m+n-\mathrm {rank} ~S_{p,q}