结式是数学中一个常用的不变量。考虑域
上两个多项式
,设其首项系数分别为
,则其结式定义为
![{\displaystyle \mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420db1c373e2f29d0ceacaef9b61b7d2097db394)
其中
为
的给定代数闭包。由此定义的结式是
的元素,而与代数闭包的选取无关。
计算方式
- 结式亦可理解为西尔维斯特矩阵的行列式。
- 为简单起见,假设
首项系数为一;若
是可分多项式(换言之:无重根),则定义可改写为
![{\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b149fbfbe4110a1ae0da3be570f8dfc95178e5e9)
- 此式仅依赖于
除以
的余式。
性质
![{\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153156e9c5a6bf6e5d15171410bbd7e97e76b2dd)
![{\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485def83f1185ca62263fa916b133434b71aec31)
- 若
且
,那么
。在论及计算方式时已利用此性质。
- 若
同次,
,则有
![{\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b642477383d69fb5583dcde5eeb89e2cfb7096)
,其中
。
应用
- 一多项式
与其导数
的结式可由判别式
表示:设
的首项系数为
,则
。
外部链接