金茲堡-朗道方程式

金茲堡-朗道方程式，或金茲堡-朗道理論，是由維塔利·金茲堡和列夫·朗道在1950年提出的一個描述超導現象的理論。早期的金茲堡-朗道方程式只是一個唯象的數學模型，從宏觀的角度描述了第一類超導體。1957年，蘇聯物理學家阿列克謝·阿布里科索夫基於金茲堡-朗道理論提出了第二類超導體的概念。1959年，列夫·戈爾科夫結合BCS理論，從微觀角度嚴格證明了金茲堡-朗道理論是BCS理論的一種極限情況。為了表彰金茲堡和阿布里科索夫對超導理論的貢獻，他們與研究超流理論的安東尼·萊格特共同獲得了2003年的諾貝爾物理學獎。

理論

金茲堡－朗道方程式是由金茲堡和朗道在朗道的二級相變理論的基礎上提出的。他們斷言超導態可以通過一個復序參量（complex order parameter）ψ(r) 來表徵。這個形似波函數的序參量測量的是超導體在低於超導轉變溫度T_c時的超導有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理論的框架中可以視為描述庫柏對質量中心位置的單粒子波函數。在臨界相變點附近，超導體的自由能密度 $f$ 可被展開為如下形式：

$f=f_{n0}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {H^{2}}{8\pi }}$

若 $\psi =0$，則上式化為常態下的自由能 $f_{n0}+{\frac {h^{2}}{8\pi }}$。$m^{*}$表示有效質量，$e^{*}$表示有效電荷，A 是磁向量勢，$H$為磁場強度。在後續的實驗中，人們發現 $e^{*}\approx 2{\mathit {e}}$（${\mathit {e}}$ 為基本電荷）。

當自由能取極小值時可得金茲堡-朗道方程式：

 $\alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0$

由 $\mathbf {J} ={\frac {c}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H}$，可推導出電流密度

$\mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\left|\psi \right|^{2}\left(\hbar \nabla \varphi -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)$

分析

如果不考慮金茲堡－朗道方程式中的磁場與梯度項，方程式可化為：

$f_{s}-f_{n}=\alpha |\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta |\psi |^{4}$

由於 $\beta >0$ ，當 $\alpha >0$ 時，自由能的最小值出現在 $|\psi |^{2}=0$，對應著非超導的普通狀態。當 $\alpha <0$ 時，自由能的最小值出現在 $|\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}=|\psi _{\infty }|^{2}$；之所以被記為 $|\psi _{\infty }|^{2}$，是因為 $\psi$ 是在超導體內部「無窮深」處取得的這一函數值，「無窮深」意味著完全屏蔽了外表面的電磁場或電流。

若已知 $e^{*}=2{\mathit {e}}$，且 $m^{*}=2m$，則可以計算出金茲堡－朗道方程式中各個係數的表達式。使用經驗方程式進行估計可知：

$|\psi |^{2}\propto 1-t^{4}\approx 4(1-t)$

$\alpha \propto {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\approx (1-t)$

$\beta \propto {\frac {1}{(1+t^{2})^{2}}}\approx const$

其中 $t=T/T_{c}$。

相干長度與穿透深度

金茲堡-朗道方程式預測了超導體中兩個新的特徵長度。

第一個叫做超導相干長度ξ。對於T > T_c (一般相)，相干長度由以下方程式給出：

$\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.$

對於 T < T_c (超導相)，相干長度由以下方程式給出：

$\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m|\alpha |}}}.$

第二個叫做穿透深度λ。這個概念最初是由倫敦兄弟在他們的倫敦理論中提出的。如果使用金茲堡-朗道模型中的參數來表示，穿透深度可以寫作：

$\lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}},$

其中ψ₀ 表示在沒有電磁場的條件下序參量的平衡值。外加磁場在超導體中的指數衰減可以通過穿透深度來定義。通過計算超導電子密度恢復到其平衡值ψ₀ 時產生的微小擾動，我們可以確定這個指數衰減。磁場的指數衰減與高能物理中的希格斯機制是等價的。

朗道還定義了一個參數κ。κ = $\lambda$/$\xi$ 現今被稱為金茲堡-朗道參數。朗道提出，第一類超導體應滿足 0<κ<1/${\sqrt {2}}$，而第二類超導體應滿足κ>1/${\sqrt {2}}$。如此一來，金茲堡-朗道理論通過定義這兩個長度，就表徵了所有的超導體。

解析解

金茲堡-朗道方程式可化為以下形式的非線性偏微分方程式：

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-bu+c|u|^{2}u=0$

其中$u(x,t)$是一個復值函數，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c為復常數，b∈ℝ。若假設a、b、c都是正實數，則金茲堡-朗道方程式有下列行波解：

$sol[1]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$

$sol[2]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*coth(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$

$sol[3]:=u=-(1/2*I)*b/{\sqrt {(}}-c*b)-(1/2)*{\sqrt {(}}-c*b)*tan(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c$

$sol[4]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$

$sol[5]:={\frac {-{\sqrt {(}}3)*exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t))}}$

部分解析解的行為如下所示：

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相關條目

• 朗道理論
• 磁域
• 疇壁
• 磁通釘扎
• 磁通量量子
• 量子渦旋
• 格羅斯–皮塔耶夫斯基方程式
• 反應-擴散系統
• 塞伯格-維騰理論
• 拓撲缺陷

延伸閱讀

超導理論相關

• 阿布里科索夫2003年的諾貝爾獎講座：pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 或 視頻 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 金茲堡2003年的諾貝爾獎講座：pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 或 視頻 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
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• A.A. Abrikosov; Beknazarov. Fundamentals of the theory of metals. Amsterdam: North-Holland. 1988. ISBN 0444870946. 

偏微分方程式相關

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3. 李志斌編著 《非線性數學物理方程式的行波解》 科學出版社
4. 王東明著 《消去法及其應用》 科學出版社 2002
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