金茲堡-朗道方程

金茲堡-朗道方程，或金茲堡-朗道理論，是由維塔利·金茲堡和列夫·朗道在1950年提出的一個描述超導現象的理論。早期的金茲堡-朗道方程只是一個唯象的數學模型，從宏觀的角度描述了第一類超導體。1957年，蘇聯物理學家阿列克謝·阿布里科索夫基於金茲堡-朗道理論提出了第二類超導體的概念。1959年，列夫·戈爾科夫結合BCS理論，從微觀角度嚴格證明了金茲堡-朗道理論是BCS理論的一種極限情況。為了表彰金茲堡和阿布里科索夫對超導理論的貢獻，他們與研究超流理論的安東尼·萊格特共同獲得了2003年的諾貝爾物理學獎。

理論

金茲堡－朗道方程是由金茲堡和朗道在朗道的二級相變理論的基礎上提出的。他們斷言超導態可以通過一個復序參量（complex order parameter）ψ(r) 來表徵。這個形似波函數的序參量測量的是超導體在低於超導轉變溫度T_c時的超導有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理論的框架中可以視為描述庫柏對質量中心位置的單粒子波函數。在臨界相變點附近，超導體的自由能密度 $f$ 可被展開為如下形式：

$f=f_{n0}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {H^{2}}{8\pi }}$

若 $\psi =0$，則上式化為常態下的自由能 $f_{n0}+{\frac {h^{2}}{8\pi }}$。$m^{*}$表示有效質量，$e^{*}$表示有效電荷，A 是磁矢勢，$H$為磁場強度。在後續的實驗中，人們發現 $e^{*}\approx 2{\mathit {e}}$（${\mathit {e}}$ 為基本電荷）。

當自由能取極小值時可得金茲堡-朗道方程：

 $\alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0$

由 $\mathbf {J} ={\frac {c}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H}$，可推導出電流密度

$\mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\left|\psi \right|^{2}\left(\hbar \nabla \varphi -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)$

分析

如果不考慮金茲堡－朗道方程中的磁場與梯度項，方程可化為：

$f_{s}-f_{n}=\alpha |\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta |\psi |^{4}$

由於 $\beta >0$ ，當 $\alpha >0$ 時，自由能的最小值出現在 $|\psi |^{2}=0$，對應着非超導的普通狀態。當 $\alpha <0$ 時，自由能的最小值出現在 $|\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}=|\psi _{\infty }|^{2}$；之所以被記為 $|\psi _{\infty }|^{2}$，是因為 $\psi$ 是在超導體內部「無窮深」處取得的這一函數值，「無窮深」意味着完全屏蔽了外表面的電磁場或電流。

若已知 $e^{*}=2{\mathit {e}}$，且 $m^{*}=2m$，則可以計算出金茲堡－朗道方程中各個係數的表達式。使用經驗方程進行估計可知：

$|\psi |^{2}\propto 1-t^{4}\approx 4(1-t)$

$\alpha \propto {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\approx (1-t)$

$\beta \propto {\frac {1}{(1+t^{2})^{2}}}\approx const$

其中 $t=T/T_{c}$。

相干長度與穿透深度

金茲堡-朗道方程預測了超導體中兩個新的特徵長度。

第一個叫做超導相干長度ξ。對於T > T_c (一般相)，相干長度由以下方程給出：

$\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.$

對於 T < T_c (超導相)，相干長度由以下方程給出：

$\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m|\alpha |}}}.$

第二個叫做穿透深度λ。這個概念最初是由倫敦兄弟在他們的倫敦理論中提出的。如果使用金茲堡-朗道模型中的參數來表示，穿透深度可以寫作：

$\lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}},$

其中ψ₀ 表示在沒有電磁場的條件下序參量的平衡值。外加磁場在超導體中的指數衰減可以通過穿透深度來定義。通過計算超導電子密度恢復到其平衡值ψ₀ 時產生的微小擾動，我們可以確定這個指數衰減。磁場的指數衰減與高能物理中的希格斯機制是等價的。

朗道還定義了一個參數κ。κ = $\lambda$/$\xi$ 現今被稱為金茲堡-朗道參數。朗道提出，第一類超導體應滿足 0<κ<1/${\sqrt {2}}$，而第二類超導體應滿足κ>1/${\sqrt {2}}$。如此一來，金茲堡-朗道理論通過定義這兩個長度，就表徵了所有的超導體。

解析解

金茲堡-朗道方程可化為以下形式的非線性偏微分方程：

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-bu+c|u|^{2}u=0$

其中$u(x,t)$是一個復值函數，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c為復常數，b∈ℝ。若假設a、b、c都是正實數，則金茲堡-朗道方程有下列行波解：

$sol[1]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$

$sol[2]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*coth(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$

$sol[3]:=u=-(1/2*I)*b/{\sqrt {(}}-c*b)-(1/2)*{\sqrt {(}}-c*b)*tan(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c$

$sol[4]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c$

$sol[5]:={\frac {-{\sqrt {(}}3)*exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t))}}$

部分解析解的行為如下所示：

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相關條目

• 朗道理論
• 磁疇
• 疇壁
• 磁通釘扎
• 磁通量量子
• 量子渦旋
• 格羅斯–皮塔耶夫斯基方程
• 反應-擴散系統
• 塞伯格-維騰理論
• 拓撲缺陷

延伸閱讀

超導理論相關

• 阿布里科索夫2003年的諾貝爾獎講座：pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 或 視頻 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 金茲堡2003年的諾貝爾獎講座：pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 或 視頻 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
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• A.A. Abrikosov; Beknazarov. Fundamentals of the theory of metals. Amsterdam: North-Holland. 1988. ISBN 0444870946. 

偏微分方程相關

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2. 閻振亞著 《複雜非線性波的構造性理論及其應用》 科學出版社 2007年
3. 李志斌編著 《非線性數學物理方程的行波解》 科學出版社
4. 王東明著 《消去法及其應用》 科學出版社 2002
5. 何青 王麗芬編著 《Maple 教程》 科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
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