潘勒韦分析原是保罗·潘勒韦在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论,后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中,并发展出几种程序,常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。潘勒韦分析的过程复杂,需借助Maple、Mathematica等计算机代数系统进行运算[1]
Kruskal 简化法原理
对于给定的 偏微分方程
假设其解可展开为Laurent级数形式:
设定方程解的首项目可以表示为
≈
代人原式,平衡φ的幂次,得到一个含共振点的递推关系,如果对于任意的u(j)、φ,此递推关系是自相容的,则原来的方程是可积的。
实例
伯格斯方程的潘勒韦分析
作Laurent级数展开
其中
和
是非特征奇异点流型
和 u[0]≠0附近的解析函数。
设定方程解的首项可以表示为
≈
代人原式,得到
![{\displaystyle \rho \phi u[0]\psi [t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c2d84975df77301a87485b78197904ffef1bef)
平衡最高阶微商与非线性项,得到:
ρ=1,u[0] = 2 b/a;
将
代人偏微分方程,
φ的最低次项为
代入伯格斯方程,
因此 j=-1,2
取
再带入原方程得:
整理后,令其φ 的2次、1次,及常数项为零 得到一组多项式方程组:
伯格斯方程通过潘勒韦测试的条件是 在截短短展开式中,φ、u[2] 是任意函数。
经过一系列运算可知 u[2],φ为任意函数,伯格斯方程乃潘勒韦可积,其解有如下形式:
参考文献
- ^ Inna Shingareva, Carlos Lizarrraga-Celyaya Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, SpringerWienNewYork