大二十面化截半二十面體

大二十面化截半二十面體
類別	均勻星形多面體
對偶多面體	大二十角星化六十面體（英語：Great icosacronic hexecontahedron）
識別
名稱	大二十面化截半二十面體; great icosicosidodecahedron; great icosified icosidodecahedron
參考索引	U48, C62, W88
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	giid
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	;
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	3/2 5 \| 3; 3 5/4 \| 3
性質
面	52
邊	120
頂點	60
歐拉特徵數	F=52, E=120, V=60 （χ=-8）
組成與佈局
面的種類	20個正三角形; 12個正五邊形; 20個正六邊形
頂點圖	5.6.3/2.6
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
	; 5.6.3/2.6; （頂點圖）
	; 大二十角星化六十面體（英語：Great icosacronic hexecontahedron）; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

大二十面化截半二十面體（great icosified icosidodecahedron）又稱為大二十面截半二十面體（Great icosicosidodecahedron）^[1]是一種星形均勻多面體，由20個正三角形、12個正五邊形和20個正六邊形組成^[2]^[3]，索引為U₄₈，對偶多面體為大二十角星化六十面體（英語：Great icosacronic hexecontahedron）^[4]，具有二十面體群對稱性（英語：Icosahedral symmetry），可以視為截角十二面體的刻面（英語：Faceting）多面體^[5]，也可以視為是大雙三角十二面截半二十面體的邊刻面（edge-faceting）立體^[6]。

大二十面化截半二十面體與大雙三角十二面截半二十面體相關，差別在於，在大二十面化截半二十面體中沒有十角星，但兩者所有的邊皆是相同的，在大雙三角十二面截半二十面體為十角星的位置是大二十面化截半二十面體的凹陷處^[7]^:137。

性質

大二十面化截半二十面體共由52個面、120條邊和60個頂點組成。^[8]在其52個面中，有20個正三角形面、12個正五邊形面和20個正六邊形面^[9]。在其60個頂點中，每個頂點都是2個正六邊形面、1個正三角形面和1個正五邊形面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以正五邊形、六邊形面、反向相接的正三角形和六邊形面的順序排列，在頂點圖中可以用(5.6.3/2.6)^[10]或(6.3/2.6.5)^[9]^[11]^[12]^[8]或5,6,3/2,6^[13]來表示。若將大二十面化截半二十面體作為一個簡單多面體，也就是將自相交的部分分離開來，則這個立體會有1232個外部面^[11]^[14]^[15]。

表示法

大二十面化截半二十面體在考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為^[16]、（o5/3x3x5*a）^[17]或（x5/4o3x3*a）^[17]，在威佐夫記號中可以表示為3/2 5 | 3^[18]^[16]^[19]^[12]^[9]。

尺寸

若大二十面化截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[4]^[3]

R={\frac {\sqrt {34-6{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 1.134228596

邊長為單位長的大二十面化截半二十面體，中分球半徑為：^[3]

R_{M}={\frac {\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.0180739209

二面角

大二十面化截半二十面體有兩種二面角，分別為六邊形面和五邊形面的二面角以及六邊形面和三角形面的二面角。^[3]^[6]

其中，六邊形面和五邊形面的二面角角度約為79.18768度：^[3]

\angle

六邊形

,

五邊形

\,=\arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.382085796\approx 79.187683036^{\circ }

而六邊形面和三角形面的二面角為5平方根的三分之一之反餘弦值，角度約為41.81度：^[6]

\angle

六邊形

,

三角形

\,=\arccos \left({\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 0.7297276562\approx 41.810315^{\circ }

分類

大二十面化截半二十面體的頂點圖為交叉梯形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，因此大二十面化截半二十面體是一種自相交擬擬正多面體（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交擬擬正多面體一共有12種^[20]，除了小雙三角十二面截半二十面體外，其餘由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）於1881年發現並描述。^[21]

自相交擬擬正多面體
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）
小立方立方八面體	大立方截半立方體	非凸大斜方截半立方體	小十二面截半二十面體
大十二面截半二十面體	小雙三角十二面截半二十面體	大雙三角十二面截半二十面體	二十面化截半大十二面體
小二十面化截半二十面體	大二十面化截半二十面體	斜方截半大十二面體	非凸大斜方截半二十面體

參見

均勻多面體列表（英語：List of uniform polyhedra）

參考文獻

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閱論編均勻多面體
四面體群對稱	正四面體截角四面體四面半六面體
八面體群對稱	立方體正八面體截角立方體截角八面體截半立方體小斜方截半立方體大斜方截半立方體扭棱立方體八面半八面體立方半八面體小斜方立方體小立方立方八面體非凸大斜方截半立方體星形截角立方體大斜方立方體大立方截半立方體立方截角立方八面體星形截角截半立方體
二十面體群對稱	正十二面體正二十面體小星形十二面體大十二面體大星形十二面體大二十面體截角十二面體截半二十面體截角二十面體小斜方截半二十面體大斜方截半二十面體扭棱十二面體大雙三斜三十二面體小十二面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體小十二面二十面體大十二面二十面體斜方二十面體小斜方十二面體大斜方十二面體小十二面截半二十面體大十二面截半二十面體小雙三角十二面截半二十面體大雙三角十二面截半二十面體小二十面化截半二十面體大二十面化截半二十面體雙三斜十二面體小雙三斜三十二面體大截半二十面體截角大十二面體截半大十二面體小星形截角十二面體大星形截角十二面體截角大二十面體斜方截半大十二面體非凸大斜方截半二十面體二十面截角十二面十二面體二十面化截半大十二面體截角截半大十二面體大截角截半二十面體大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體完全扭稜二十面體小反屈扭稜二十面截半二十面體大反屈扭稜截半二十面體扭稜小星形十二面體反扭稜小星形十二面體扭稜大星形十二面體反扭稜大星形十二面體大扭稜十二面截半二十面體扭稜二十面化截半大十二面體
其他	柱狀均勻多面體星形均勻多面體

性質

表示法

尺寸

二面角

分類

相關多面體

參見

參考文獻