大二十面化截半二十面体

大二十面化截半二十面体
类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大二十角星化六十面体（英语：Great icosacronic hexecontahedron）
识别
名称	大二十面化截半二十面体; great icosicosidodecahedron; great icosified icosidodecahedron
参考索引	U48, C62, W88
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	giid
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	;
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	3/2 5 \| 3; 3 5/4 \| 3
性质
面	52
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=52, E=120, V=60 （χ=-8）
组成与布局
面的种类	20个正三角形; 12个正五边形; 20个正六边形
顶点图	5.6.3/2.6
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
	; 5.6.3/2.6; （顶点图）
	; 大二十角星化六十面体（英语：Great icosacronic hexecontahedron）; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

大二十面化截半二十面体（great icosified icosidodecahedron）又称为大二十面截半二十面体（Great icosicosidodecahedron）^[1]是一种星形均匀多面体，由20个正三角形、12个正五边形和20个正六边形组成^[2]^[3]，索引为U₄₈，对偶多面体为大二十角星化六十面体（英语：Great icosacronic hexecontahedron）^[4]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry），可以视为截角十二面体的刻面（英语：Faceting）多面体^[5]，也可以视为是大双三角十二面截半二十面体的边刻面（edge-faceting）立体^[6]。

大二十面化截半二十面体与大双三角十二面截半二十面体相关，差别在于，在大二十面化截半二十面体中没有十角星，但两者所有的边皆是相同的，在大双三角十二面截半二十面体为十角星的位置是大二十面化截半二十面体的凹陷处^[7]^:137。

性质

大二十面化截半二十面体共由52个面、120条边和60个顶点组成。^[8]在其52个面中，有20个正三角形面、12个正五边形面和20个正六边形面^[9]。在其60个顶点中，每个顶点都是2个正六边形面、1个正三角形面和1个正五边形面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五边形、六边形面、反向相接的正三角形和六边形面的顺序排列，在顶点图中可以用(5.6.3/2.6)^[10]或(6.3/2.6.5)^[9]^[11]^[12]^[8]或5,6,3/2,6^[13]来表示。若将大二十面化截半二十面体作为一个简单多面体，也就是将自相交的部分分离开来，则这个立体会有1232个外部面^[11]^[14]^[15]。

表示法

大二十面化截半二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[16]、（o5/3x3x5*a）^[17]或（x5/4o3x3*a）^[17]，在威佐夫记号中可以表示为3/2 5 | 3^[18]^[16]^[19]^[12]^[9]。

尺寸

若大二十面化截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[4]^[3]

R={\frac {\sqrt {34-6{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 1.134228596

边长为单位长的大二十面化截半二十面体，中分球半径为：^[3]

R_{M}={\frac {\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.0180739209

二面角

大二十面化截半二十面体有两种二面角，分别为六边形面和五边形面的二面角以及六边形面和三角形面的二面角。^[3]^[6]

其中，六边形面和五边形面的二面角角度约为79.18768度：^[3]

\angle

六边形

,

五边形

\,=\arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.382085796\approx 79.187683036^{\circ }

而六边形面和三角形面的二面角为5平方根的三分之一之反余弦值，角度约为41.81度：^[6]

\angle

六边形

,

三角形

\,=\arccos \left({\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 0.7297276562\approx 41.810315^{\circ }

分类

大二十面化截半二十面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此大二十面化截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[20]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[21]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）
小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

参见

均匀多面体列表（英语：List of uniform polyhedra）

参考文献

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查论编均匀多面体
四面体群对称	正四面体截角四面体四面半六面体
八面体群对称	立方体正八面体截角立方体截角八面体截半立方体小斜方截半立方体大斜方截半立方体扭棱立方体八面半八面体立方半八面体小斜方立方体小立方立方八面体非凸大斜方截半立方体星形截角立方体大斜方立方体大立方截半立方体立方截角立方八面体星形截角截半立方体
二十面体群对称	正十二面体正二十面体小星形十二面体大十二面体大星形十二面体大二十面体截角十二面体截半二十面体截角二十面体小斜方截半二十面体大斜方截半二十面体扭棱十二面体大双三斜三十二面体小十二面半十二面体大十二面半十二面体小十二面半二十面体大十二面半二十面体小二十面半十二面体大二十面半十二面体小十二面二十面体大十二面二十面体斜方二十面体小斜方十二面体大斜方十二面体小十二面截半二十面体大十二面截半二十面体小双三角十二面截半二十面体大双三角十二面截半二十面体小二十面化截半二十面体大二十面化截半二十面体双三斜十二面体小双三斜三十二面体大截半二十面体截角大十二面体截半大十二面体小星形截角十二面体大星形截角十二面体截角大二十面体斜方截半大十二面体非凸大斜方截半二十面体二十面截角十二面十二面体二十面化截半大十二面体截角截半大十二面体大截角截半二十面体大二重斜方截半二十面体大二重扭棱二重斜方十二面体完全扭棱二十面体小反屈扭棱二十面截半二十面体大反屈扭棱截半二十面体扭棱小星形十二面体反扭棱小星形十二面体扭棱大星形十二面体反扭棱大星形十二面体大扭棱十二面截半二十面体扭棱二十面化截半大十二面体
其他	柱状均匀多面体星形均匀多面体

性质

表示法

尺寸

二面角

分类

相关多面体

参见

参考文献