圓
圓 | |
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![]() 圓周C
直徑D
半徑R
原點O | |
類型 | 圓錐曲線 |
鮑爾斯縮寫 | circ![]() |
對稱群 | O(2) |
面積 | πR2 |
周長 | C = 2πR |
圓 (英語:circle)的第一個定義是:根據歐幾里得的《幾何原本》,在同一平面內到定點 的距離等於定長 的點的集合[1]。此定點 稱為圓心(center of a circle),此定長 稱為半徑(radius)。
圓的第二個定義是:平面內一動點到兩定點的距離的比,等於一個不為1的常數,則此動點的軌跡是圓[2];此圓屬於一種阿波羅尼奧斯圓(circles of Apollonius)。
歷史
古代人最早是從太陽、陰曆十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔,那些孔有的就很像圓。[3]到了陶器時代,許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。[4]當人們開始紡線,又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發現搬運圓的木頭時滾著走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候,就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走。[5]
約在6000年前,美索不達米亞人,做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤。[4]大約在4000多年前,人們將圓的木盤固定在木架下,這就成了最初的車子。 古代埃及人認為:圓,是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前中國的墨子給圓下了一個定義:圓,一中同長也。意思是說:圓有一個圓心,圓心到圓周上各點的距離(即半徑)都相等。[4]
性質
解析幾何
圓心
圓是在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點叫做圓的圓心(通常用表示)。[6]
弦
圓周上任何兩點相連的線段稱為圓的弦(英語:chord)。如圖2,、分別為圓上任意兩點,那麼就是圓的弦。
弧
圓周上任意兩點間的部分叫做弧(英語:arc),通常用符號表示。弧分為半圓、優弧、劣弧三種。[6]
直徑、半徑
切線
假如一條直線與圓相交僅有一個交點,那麼稱這條直線是這個圓的切線,與圓相交的點叫做切點。[2]如下圖,直線與圓只有一個交點,那麼就是圓的切線。過圓上一點的切線:設該點為,圓的方程為,則圓在該點的切線方程為:
割線
一條直線與一條弧線有兩個公共點,這條直線是這條曲線的割線(英語:Secant Theorem)。[2]如圖,直線與圓有兩個公共點,那麼直線就是圓的割線。
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Secant-unit-circle.svg/300px-Secant-unit-circle.svg.png)
周長
圓的一周的長度稱為圓的周長(記作)。圓的周長與半徑的關係是:
- 或 ,
其中是圓周率。
面積
圓的面積與半徑的關係是:。
對稱性
圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,圓的對稱軸為經過圓心的任意直線,圓的對稱中心為圓心。[6]
圓心角、圓周角
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Sehnentangentenwinkel.png/250px-Sehnentangentenwinkel.png)
- 圓心角:頂點在圓心的角叫圓心角,圓心角的度數等於它所對的弧的度數,公式表示為。[a][2]如右圖,為圓的圓心,那麼為圓心角。
- 圓周角:頂點在圓周上,角兩邊和圓相交的角叫圓周角。如右圖,的頂點在圓周上,的兩邊、分別交在圓周上,那麼就是圓周角。
圓心角定理
同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距[b]相等,此定理也稱「一推三定理」。[6]
圓周角定理
圓周角定理:同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。[6]
如上圖,為圓心,分別為圓周上的點,那麼:
- 證明:
- 即:
圓周角定理的推論:
- 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧。
- 半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧的半圓,所對的弦是直徑。
- 若三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。
垂徑定理
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/%E5%9E%82%E5%BE%84%E5%AE%9A%E7%90%86.jpg/300px-%E5%9E%82%E5%BE%84%E5%AE%9A%E7%90%86.jpg)
定理定義:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧。[7]
知二推三
一條直線,在下列5條中只要具備其中任意兩條作為條件,就可以推出其他三條結論。稱為「知二推三」。
- 平分弦所對的優弧
- 平分弦所對的劣弧(前兩條合起來就是平分弦所對的兩條弧)
- 平分弦(不是直徑)
- 垂直於弦
- 經過圓心
推論
- BE過圓心O,AD=DC,則BE垂直AC並平分AC、AEC兩條弧。即「平分非直徑的弦的直徑垂直於弦並平分弦所對的兩弧。」
- AD=DC且BE垂直AC,則BE過圓心O且平分AC、AEC兩條弧。即「弦的垂直平分線過圓心且平分弦所對的兩弧。」
- BE是直徑,()=(),則BE過圓心O,()=()。即「平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦且平分弦所對的另一條弧。」
兩圓位置關係
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Two_circles.png)
兩個不同大小的圓(半徑分別為及,圓心距為,其中)之間的關係如下:[2]
- :兩圓不相交(內含),互為同心圓。
- :兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
- :兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
- :兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
- :兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
- :兩圓不相交(外離),有4條共同切線。
圓系方程
在解析幾何中,符合特定條件的某些圓構成一個圓系,一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。例如求半逕到直線距離的方程就可以叫圓系方程。[2]
在方程中,若圓心為定點,為參變數,則它表示同心圓的圓系方程。若是常量,(或)為參變數,則它表示半徑相同,圓心在同一直線上(平行於軸或軸)的圓系方程。
- 過兩圓與交點的圓系方程為:
- 過直線與圓交點的圓系方程為:
- 過兩圓與交點的直線方程為:
其他定義
- 在三維空間,球面被設定為是在空間中與一個定點距離為的所有點的集合,此處r是一個正的實數,稱為半徑,固定的點稱為球心或中心,並且不屬於球面的範圍。是球的特例,稱為單位球。
- 在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合。
其它
相關的立體圖形
圓和其他平面形狀
圓的問題
參考資料
注釋
資料
- ^ 歐幾里得[原著]/燕曉東(譯). 几何原本. 南京: 江蘇人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593.
圓是一個在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合,這個定點就是圓心。
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107177057. (原始內容存檔於2017-06-13).
- ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107155598. (原始內容存檔於2017-06-13).
- ^ 4.0 4.1 4.2 圆的历史. [2015-08-25]. (原始內容存檔於2021-11-21).
- ^ 古代人是如何搬运重物的?. [2015-08-25]. (原始內容存檔於2016-03-04).
- ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 数学. 北京: 北京師範大學出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787303136933. (原始內容存檔於2017-06-13).
- ^ 歐幾里得. 第I卷第12个命题. 几何原本.
- ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
- ^ 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. [2015-08-26]. (原始內容存檔於2014-06-23).
參見
擴展閱讀
- Pedoe, Dan. Geometry: a comprehensive course. Dover. 1988.
- "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
外部連結
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/38px-Wikisource-logo.svg.png)
- Hazewinkel, Michiel (編), Circle, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Circle (PlanetMath.org website)
- 埃里克·韋斯坦因. Circle. MathWorld.
- Interactive Java applets(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) for the properties of and elementary constructions involving circles.
- Interactive Standard Form Equation of Circle(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) Click and drag points to see standard form equation in action
- Munching on Circles(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) at cut-the-knot
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