圆
圆 | |
---|---|
![]() 圆周C
直径D
半径R
原点O | |
类型 | 圆锥曲线 |
鲍尔斯缩写 | circ![]() |
对称群 | O(2) |
面积 | πR2 |
周长 | C = 2πR |
圆 (英语:circle)的第一个定义是:根据欧几里得的《几何原本》,在同一平面内到定点 的距离等于定长 的点的集合[1]。此定点 称为圆心(center of a circle),此定长 称为半径(radius)。
圆的第二个定义是:平面内一动点到两定点的距离的比,等于一个不为1的常数,则此动点的轨迹是圆[2];此圆属于一种阿波罗尼奥斯圆(circles of Apollonius)。
历史
古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很像圆。[3]到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。[4]当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。[5]
约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。[4]大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。 古代埃及人认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周上各点的距离(即半径)都相等。[4]
性质
解析几何
圆心
圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点叫做圆的圆心(通常用表示)。[6]
弦
圆周上任何两点相连的线段称为圆的弦(英语:chord)。如图2,、分别为圆上任意两点,那么就是圆的弦。
弧
圆周上任意两点间的部分叫做弧(英语:arc),通常用符号表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。[6]
直径、半径
切线
假如一条直线与圆相交仅有一个交点,那么称这条直线是这个圆的切线,与圆相交的点叫做切点。[2]如下图,直线与圆只有一个交点,那么就是圆的切线。过圆上一点的切线:设该点为,圆的方程为,则圆在该点的切线方程为:
割线
一条直线与一条弧线有两个公共点,这条直线是这条曲线的割线(英语:Secant Theorem)。[2]如图,直线与圆有两个公共点,那么直线就是圆的割线。
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Secant-unit-circle.svg/300px-Secant-unit-circle.svg.png)
周长
圆的一周的长度称为圆的周长(记作)。圆的周长与半径的关系是:
- 或 ,
其中是圆周率。
面积
圆的面积与半径的关系是:。
对称性
圆既是轴对称图形又是中心对称图形,圆的对称轴为经过圆心的任意直线,圆的对称中心为圆心。[6]
圆心角、圆周角
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Sehnentangentenwinkel.png/250px-Sehnentangentenwinkel.png)
- 圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数,公式表示为。[a][2]如右图,为圆的圆心,那么为圆心角。
- 圆周角:顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。如右图,的顶点在圆周上,的两边、分别交在圆周上,那么就是圆周角。
圆心角定理
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距[b]相等,此定理也称“一推三定理”。[6]
圆周角定理
圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。[6]
如上图,为圆心,分别为圆周上的点,那么:
- 证明:
- 即:
圆周角定理的推论:
- 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧。
- 半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧的半圆,所对的弦是直径。
- 若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
垂径定理
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/%E5%9E%82%E5%BE%84%E5%AE%9A%E7%90%86.jpg/300px-%E5%9E%82%E5%BE%84%E5%AE%9A%E7%90%86.jpg)
定理定义:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。[7]
知二推三
一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为“知二推三”。
- 平分弦所对的优弧
- 平分弦所对的劣弧(前两条合起来就是平分弦所对的两条弧)
- 平分弦(不是直径)
- 垂直于弦
- 经过圆心
推论
- BE过圆心O,AD=DC,则BE垂直AC并平分AC、AEC两条弧。即“平分非直径的弦的直径垂直于弦并平分弦所对的两弧。”
- AD=DC且BE垂直AC,则BE过圆心O且平分AC、AEC两条弧。即“弦的垂直平分线过圆心且平分弦所对的两弧。”
- BE是直径,()=(),则BE过圆心O,()=()。即“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧。”
两圆位置关系
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Two_circles.png)
两个不同大小的圆(半径分别为及,圆心距为,其中)之间的关系如下:[2]
- :两圆不相交(内含),互为同心圆。
- :两圆不相交(内含,亦称“内离”)。
- :两圆相交于一点(内切),有1条共同切线。
- :两圆相交于一点(外切),有3条共同切线。
- :两圆相交于两点,有2条共同切线。
- :两圆不相交(外离),有4条共同切线。
圆系方程
在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。[2]
在方程中,若圆心为定点,为参变数,则它表示同心圆的圆系方程。若是常量,(或)为参变数,则它表示半径相同,圆心在同一直线上(平行于轴或轴)的圆系方程。
- 过两圆与交点的圆系方程为:
- 过直线与圆交点的圆系方程为:
- 过两圆与交点的直线方程为:
其他定义
- 在三维空间,球面被设定为是在空间中与一个定点距离为的所有点的集合,此处r是一个正的实数,称为半径,固定的点称为球心或中心,并且不属于球面的范围。是球的特例,称为单位球。
- 在测度空间中,圆的定义仍旧指距离一定点等距(在该测度下)的点的集合。
其它
相关的立体图形
圆和其他平面形状
圆的问题
参考资料
注释
资料
- ^ 欧几里得[原著]/燕晓东(译). 几何原本. 南京: 江苏人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593.
圆是一个在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,这个定点就是圆心。
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107177057. (原始内容存档于2017-06-13).
- ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107155598. (原始内容存档于2017-06-13).
- ^ 4.0 4.1 4.2 圆的历史. [2015-08-25]. (原始内容存档于2021-11-21).
- ^ 古代人是如何搬运重物的?. [2015-08-25]. (原始内容存档于2016-03-04).
- ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787303136933. (原始内容存档于2017-06-13).
- ^ 欧几里得. 第I卷第12个命题. 几何原本.
- ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
- ^ 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原载于科学月刊第九卷第四期. [2015-08-26]. (原始内容存档于2014-06-23).
参见
扩展阅读
- Pedoe, Dan. Geometry: a comprehensive course. Dover. 1988.
- "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive(页面存档备份,存于互联网档案馆)
外部链接
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/38px-Wikisource-logo.svg.png)
- Hazewinkel, Michiel (编), Circle, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Circle (PlanetMath.org website)
- 埃里克·韦斯坦因. Circle. MathWorld.
- Interactive Java applets(页面存档备份,存于互联网档案馆) for the properties of and elementary constructions involving circles.
- Interactive Standard Form Equation of Circle(页面存档备份,存于互联网档案馆) Click and drag points to see standard form equation in action
- Munching on Circles(页面存档备份,存于互联网档案馆) at cut-the-knot
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