二次體
在代數數論中,二次體是在有理數體上次數為二的數體。二次體可以唯一地表成,其中無平方數因數。若,稱之為實二次體;否則稱為虛二次體或複二次體。虛實之分在於是否為全實體
二次體的 研究肇源甚早,起初是作為二次型理論的一支。二次體是代數數論的基本對象之一,雖然如此,至今仍有一些未解猜想,如類數問題。
整數環與判別式
二次體裡的整數環定義為該體中的代數整數。當時,整數環可描述為,否則為。當時,這些整數稱為高斯整數,當時,稱為艾森斯坦整數。
根據上述描述,的判別式不難計算:當時判別式為,否則則為。
二次體上的分歧理論
設,為質數。數論關注的問題是如何在中分解成質理想之積。根據數體的分歧理論,應考慮以下情形:
- 是慣性的:仍為質理想,此時。
- 分裂:為兩個相異質理想之積,此時。
- 分歧:為某個質理想之平方,此時含有非零的冪零元素。
根據之前對判別式的計算,可知分歧若且唯若整除的判別式(或,取決於);對其餘無窮多個質數,前兩個情形皆會發生,而且其機率在某種意義上相等。
素p分圓體和二次體
分圓體素p(p>2)次根群所產生二次子體,也是伽羅瓦理論(埃瓦里斯特·伽羅瓦)的一個結論,在有理體上有惟一指數2Galois子群,,二次體特例d=-1時成稱高斯整環,有判別式p的p=4N+1-P,P = 4N +3才有素分解,高斯整環分歧條件叫高斯週期(Gaussian period)。
其他的分圓體
如果一個分圓體,他們有額外的2-扭伽羅瓦群,那麽就至少包含三個二次體。一般通過分圓體二次子體的判別式D的可以得到D次單位根組成的子體(D-th roots of unity)。這表示一個事實,即二次體的前導子(conductor) 是判別式D的絕對賦值 (value) 。
參考文獻
- Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
- Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972.
- I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9. Chapter 3.1.