二次域

在代数数论中，二次域是在有理数域$\mathbb {Q}$上次数为二的数域。二次域可以唯一地表成$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$，其中$d$无平方数因数。若$d>0$，称之为实二次域；否则称为虚二次域或复二次域。虚实之分在于$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$是否为全实域

二次域的 研究肇源甚早，起初是作为二次型理论的一支。二次域是代数数论的基本对象之一，虽然如此，至今仍有一些未解猜想，如类数问题。

整数环与判别式

二次域$K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$里的整数环${\mathcal {O}}_{K}$定义为该域中的代数整数。当$d\equiv 1\mod 4$时，整数环可描述为$\mathbb {Z} ({\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}})$，否则为$\mathbb {Z} ({\sqrt {d}})$。当$d=-1$时，这些整数称为高斯整数，当$d=-3$时，称为艾森斯坦整数。

根据上述描述，$K$的判别式不难计算：当$d\equiv 1\mod 4$时判别式为$d$，否则则为$4d$。

二次域上的分歧理论

设$K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$，$p\in \mathbb {Z}$为素数。数论关注的问题是$(p):=p{\mathcal {O}}_{K}$如何在${\mathcal {O}}_{K}$中分解成素理想之积。根据数域的分歧理论，应考虑以下情形：

• $p$是惯性的：$p{\mathcal {O}}_{K}$仍为素理想，此时${\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p^{2}}$。
• $p$分裂：$(p)$为两个相异素理想之积，此时${\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p}^{2}$。
• $p$分歧：$(p)$为某个素理想之平方，此时${\mathcal {O}}_{K}/(p)$含有非零的幂零元。

根据之前对判别式的计算，可知$p$分歧当且仅当$p$整除$K$的判别式（$d$或$4d$，取决于$d\mod 4$）；对其馀无穷多个素数，前两个情形皆会发生，而且其机率在某种意义上相等。

素p分圆域和二次域

分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。

其他的分圆域

如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那么就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的前导子（conductor） 是判别式D的绝对赋值 （value） 。

参考文献

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1.  Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972. 
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9.  Chapter 3.1.