賦值

在代数中，赋值是一个度量域元素的阶（多少）或元素重复度的函数。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。

定義

一個域 $K$ 上取值在有序交換群Γ的賦值是從 $K^{*}$ 到Γ的映射 $v$ ，滿足下述性質：

$v(xy)=v(x)+v(y)$ （即： $v$ 是群同態）
$x+y\neq 0\Rightarrow v(x+y)\geq \mathrm {min} (v(x),v(y))$

Γ稱作 $v$ 的值群。

兩個賦值 $v_{i}:K^{*}\rightarrow \Gamma _{i}\;(i=1,2)$ 被稱作等價的，若且唯若存在有序交換群的同構 $\phi :\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}$ 使得 $v_{2}=\phi \circ v_{1}$ 。

為了操作上的便利，我們通常會將 $v$ 的值域擴至 $\Gamma \cup \{\infty \}$ ，並設 $v(0)=\infty$ 。

p進賦值

設p為正質數。對於所有非零的有理數，存在一且唯一一個整數 $n$ 使得 $x={\frac {u}{v}}p^{n}$ ，其中 $u,v$ 均非 $p$ 的倍數。p進賦值就是函數 $v_{p}:x\to n$ 。它給出一個p進絕對值 $\vert \cdot \vert _{p}:\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ ，定義為

$\vert x\vert _{p}={\begin{cases}0\\p^{-v_{p}(x)}\\\end{cases}}$	若 $x=0$
	若 $x\neq 0$

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 $\mathbb {Z}$ 。

例子

令 $X$ 為緊黎曼曲面， $\mathbb {C} (X)$ 為其上的亞純函數域。固定一點 $x\in X$ 。定義 $v_{x}(f)$ 為 $f$ 在 $x$ 的重根數，便得到 $\mathbb {C} (X)$ 上的賦值，其值群為 $\mathbb {Z}$ 。對於高維情形則須考慮其因子，但此時需考慮點的拉開，狀況較複雜。扎里斯基正是為了研究代數曲面而開始研究賦值論。
上述構造亦可套用到定義在任意域上的代數曲線。
利用函數域與數域的類比，可在 $\mathbb {Q}$ 上考慮p進賦值。根據奥斯特洛夫斯基定理， $\mathbb {Q}$ 上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。

參見

参考文献

Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2^nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8

扩展阅读

Danilov, V.I., Valuation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Discrete valuation at PlanetMath.
Valuation at PlanetMath.
埃里克·韦斯坦因. Valuation. MathWorld.