二年級之夢

二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}&&\scriptstyle {(=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots })\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&\scriptstyle {(=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}

名稱來自於與之相對的一年級之夢，也就是「 (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ 」。兩個夢都帶有數學嚇人的簡單表達方式，然而一年級之夢為錯誤的方程式，因為只要將 $n=2$ 帶入就會發現無法形成等式；但是二年級之夢卻是正確的式子。

證明

第一條公式，首先利用對數轉換和積分與級數順序變化^[1]：

對數轉換 $x^{-x}=e^{-x(\ln x)}$
指數函數的泰勒展開式 $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

得到 $\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x\ln x)^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}*x^{n}}{n!}}\,dx.$

在上式中我們利用了冪級數的均勻收斂性，以交換求和運算及積分運算

設 $u=-(n+1)\ln x$

則 $\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}x^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{\infty }^{0}{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(-e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du$

再設 $v=(n+1)u$

$\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv$

根據Γ函數， $\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\Gamma (n+1)=n!$

最終推得 $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}$ 若則積函數為 $x^{x}$ ，則可用同法推得 $\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)^{n+1}}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}$