跳至內容

二年級之夢

維基百科,自由的百科全書

二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式



名稱來自於與之相對的一年級之夢,也就是「 (x + y)n = xn + yn 」。兩個都帶有數學嚇人的簡單表達方式,然而一年級之夢為錯誤的方程式,因為只要將 帶入就會發現無法形成等式;但是二年級之夢卻是正確的式子。

證明

在座標上,兩公式的關係。

第一條公式,首先利用對數轉換和積分與級數順序變化[1]

  • 對數轉換
  • 指數函數泰勒展開式


得到

在上式中我們利用了冪級數均勻收斂性,以交換求和運算及積分運算


再設


根據Γ函數


最終推得 若則積函數為,則可用同法推得

關聯條目

參考

  1. ^ BriTheMathGuy. The Integral of your Dreams (or Nightmares). YouTube. [2022-07-21]. (原始內容存檔於2022-07-22). 頁面存檔備份,存於互聯網檔案館