跳转到内容

二年级之梦

维基百科,自由的百科全书

二年级之梦(sophomore's dream)是约翰·白努利于1697年发现的两条有趣的数学恒等式



名称来自于与之相对的一年级之梦,也就是“ (x + y)n = xn + yn ”。两个都带有数学吓人的简单表达方式,然而一年级之梦为错误的方程式,因为只要将 带入就会发现无法形成等式;但是二年级之梦却是正确的式子。

证明

在座标上,两公式的关系。

第一条公式,首先利用对数转换和积分与级数顺序变化[1]

  • 对数转换
  • 指数函数泰勒展开式


得到

在上式中我们利用了幂级数均匀收敛性,以交换求和运算及积分运算


再设


根据Γ函数


最终推得 若则积函数为,则可用同法推得

关联条目

参考

  1. ^ BriTheMathGuy. The Integral of your Dreams (or Nightmares). YouTube. [2022-07-21]. (原始内容存档于2022-07-22). 页面存档备份,存于互联网档案馆