逐次积分

微积分学的逐次积分（英：iterated integral）是在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数，重复进行多次积分而得到的积分。例如，对于二变量函数f ( x, y )的二重积分， 先将y视为常数，并且关于x积分∫ f ( x , y ) dx ，得到关于y的函数，进一步对y进行积分，这就得到了逐次积分。

$\int \left(\int f(x,y)dx\right)dy$

考虑逐次积分的概念时，重要的一点就是

$\iint f(x,y)\,dx\,dy$

逐次积分与多重积分实际上是两个不同的概念。但是即使两者不同，但由于富比尼定理，它们在足够宽松的条件下计算出的结果一致。

一种简化的表示法是

$\int dy\int f(x,y)\,dx$

这种记号也很常用，但这并不是∫ dy和∫ f ( x ) dx的乘积。只不过是逐次积分的一种表示方法。

顺序积分是按照dxdy等指定的顺序来计算的，一般是从内到外依次计算。（即先对x积分之后在对y积分）。

例子

简单的计算

对于逐次积分

$\int \left(\int (x+y)\,dx\right)dy$

的计算，首先将y作为常数，对括号里面关于x 积分（此步骤称为部分积分（英：partial integration）），

$\int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx$

这是个常见的单变量积分，之后再对y积分可得

$\int {\Bigl (}{\frac {x^{2}}{2}}+yx{\Bigr )}dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}$

要注意的是，在该计算过程中应该出现的积分常数被省略了。第一次进行积分时出现的积分常数对于x来说是一个“常数”，严格来说，它是一个可能包含y的函数。这是因为，对f(x,y)关于x偏微分时，只含有y的项会被当作常数，而常数的导数为0，因此y的项就被消掉了。同样的，在第二次关于y的积分中，应该有关于x的函数被添加为“积分常数”。在这种情况下，多元函数的不定积分没有非常明确的意义。相对于单变量函数的原始函数与不定积分最多就差个常数，多变量函数的原始函数中可能和不定积分有很大的差异。

积分顺序

在逐次积分中，计算积分的顺序很重要。例如，对于很多稍微复杂的函数，如果计算顺序改变，结果就会改变。

假设正数单调递增数列 0 < a ₀ < a ₂ < … 满足a _n → 1，定义连续函数g _n在开区间 ( a _n, a _{n +1} ) 中不为 0，此外始终为0，此外如果对于任何n 有$\int _{0}^{1}g_{n}(x)dx$，则能定义一个函数f(x,y)

$f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }(g_{n}(x)-g_{n+1}(x))g_{n}(y)$

这意味着对于每个 ( x, y )，最多有一个非零项。注意到这一点，有

$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)dy$

(Rudin 1970) 。

参考

• W., Rudin. Real and complex analysis 3rd. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. W., Rudin. Real and complex analysis 3rd. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 
• 高木贞治. 解析概論 改订第三版. 岩波书店. 

相关书籍

• 河野俊丈. 反復積分の幾何学. シュプリンガー现代数学シリーズ. シュプリンガージャパン. 2009. ISBN 978-4431706694. 河野俊丈. 反復積分の幾何学. シュプリンガー现代数学シリーズ. シュプリンガージャパン. 2009. ISBN 978-4431706694. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Repeated Integral. MathWorld. 
• integral over plane region at PlanetMath.