逐次積分

微積分學的逐次積分（英：iterated integral）是在計算多重積分時將其中一些變量視為任意常數，重複進行多次積分而得到的積分。例如，對於二變量函數f ( x, y )的二重積分， 先將y視為常數，並且關於x積分∫ f ( x , y ) dx ，得到關於y的函數，進一步對y進行積分，這就得到了逐次積分。

$\int \left(\int f(x,y)dx\right)dy$

考慮逐次積分的概念時，重要的一點就是

$\iint f(x,y)\,dx\,dy$

逐次積分與多重積分實際上是兩個不同的概念。但是即使兩者不同，但由於富比尼定理，它們在足夠寬鬆的條件下計算出的結果一致。

一種簡化的表示法是

$\int dy\int f(x,y)\,dx$

這種記號也很常用，但這並不是∫ dy和∫ f ( x ) dx的乘積。只不過是逐次積分的一種表示方法。

順序積分是按照dxdy等指定的順序來計算的，一般是從內到外依次計算。（即先對x積分之後在對y積分）。

例子

簡單的計算

對於逐次積分

$\int \left(\int (x+y)\,dx\right)dy$

的計算，首先將y作為常數，對括號裏面關於x 積分（此步驟稱為部分積分（英：partial integration）），

$\int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx$

這是個常見的單變量積分，之後再對y積分可得

$\int {\Bigl (}{\frac {x^{2}}{2}}+yx{\Bigr )}dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}$

要注意的是，在該計算過程中應該出現的積分常數被省略了。第一次進行積分時出現的積分常數對於x來說是一個「常數」，嚴格來說，它是一個可能包含y的函數。這是因為，對f(x,y)關於x偏微分時，只含有y的項會被當作常數，而常數的導數為0，因此y的項就被消掉了。同樣的，在第二次關於y的積分中，應該有關於x的函數被添加為「積分常數」。在這種情況下，多元函數的不定積分沒有非常明確的意義。相對於單變量函數的原始函數與不定積分最多就差個常數，多變量函數的原始函數中可能和不定積分有很大的差異。

積分順序

在逐次積分中，計算積分的順序很重要。例如，對於很多稍微複雜的函數，如果計算順序改變，結果就會改變。

假設正數單調遞增數列 0 < a ₀ < a ₂ < … 滿足a _n → 1，定義連續函數g _n在開區間 ( a _n, a _{n +1} ) 中不為 0，此外始終為0，此外如果對於任何n 有$\int _{0}^{1}g_{n}(x)dx$，則能定義一個函數f(x,y)

$f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }(g_{n}(x)-g_{n+1}(x))g_{n}(y)$

這意味着對於每個 ( x, y )，最多有一個非零項。注意到這一點，有

$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)dy$

(Rudin 1970) 。

參考

• W., Rudin. Real and complex analysis 3rd. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. W., Rudin. Real and complex analysis 3rd. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 
• 高木貞治. 解析概論 改訂第三版. 岩波書店. 

相關書籍

• 河野俊丈. 反復積分の幾何学. シュプリンガー現代數學シリーズ. シュプリンガージャパン. 2009. ISBN 978-4431706694. 河野俊丈. 反復積分の幾何学. シュプリンガー現代數學シリーズ. シュプリンガージャパン. 2009. ISBN 978-4431706694. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Repeated Integral. MathWorld. 
• integral over plane region at PlanetMath.