二十二面体

**二十二面体**
部分的二十二面体
	; 五角台塔柱
; 侧台塔截角立方体	; 小十二面半二十面体

在几何学中，二十二面体（icosidihedron）是指有22个面的多面体，在二十二面体当中没有任何一个形状是正多面体，换言之即正二十二面体并不存在，但仍有许多由正多边形组成的二十二面体，例如正二十角柱^[1]^[2]。由于二十二面体拥有比二十面体更多的面，因此在化学的分子结构相关研究中，二十二面体以及其他类似的立体被称为超二十面体（Supraicosahedron），例如在一种含钴的碳硼化合物就具有二十二面体的结构。^[3] 此外要构成二十二面体至少要有13个顶点^[4]。

在化学中

在化学中，二十二面体的分子结构因拥有超过二十个面，因此有时被称为超二十面体（Supraicosahedron）^[5]。由于球状的硼烷结构有一种二十面体硼烷，其性质已经被充分研究，近年来，科学家开始研究面数超过二十面的超二十面体硼烷（supraicosahedral boranes）^[5]，这种超二十面体硼烷是基于具有多于二十面体的12个顶点的多面体。

最小的超二十面体硼烷，是具有13个顶点的碳硼烷。最小的全部都是三角形面的超二十面体硼烷是加入了钴的碳硼烷（η⁵-C₅H₅)CoC₂B₁₀H₁₂）^[5]，其具有13个顶点和22个面^[6]，是一种二十二面体。

这种二十二面体具有2个分支度为6的顶点，这意味着有原子的化学键数为6，这在多面体硼烷化学中是不利的结构特征。有另一种结构是移除了上述二十二面体其中一个分支度为6的顶点上的其中一条边，这会形成一个由20个三角形面和1个四边形面组成的二十一面体。^[7]

常见的二十二面体

常见的二十二面体包含了一些锥体、柱体和一些由锥体与柱体组合并包含22个面形状，亦有一些拓朴结构明显与锥体、柱体不同的二十二面体，例如化学中的二十二面体结构^[5]。

均匀多面体

在均匀多面体中有2种立体具有二十二个面，分别为大十二面半二十面体^[8]和小十二面半二十面体^[9]。

大十二面半二十面体	小十二面半二十面体

约翰逊多面体

在约翰逊多面体中有4种立体具有二十二个面^[10]，分别为五角台塔柱、同相双五角台塔、异相双五角台塔和侧台塔截角立方体。

五角台塔柱	同相双五角台塔	异相双五角台塔	侧台塔截角立方体

此外，亦有两种约翰逊多面体的对偶多面体具有二十二个面，分别为对二侧锥正十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）的对偶多面体和间二侧锥正十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）的对偶多面体。

二十一角锥

二十一角锥是一种底面为二十一边形的锥体，是二十二面体的一种，其具有22个面、44条边和22个顶点，其对偶多面体是自己本身^[11]。正二十二角锥是一种底面为正二十二边形的二十二角锥，在施莱夫利符号中可以用{}∨{22}来表示。底边长为 $s$ 、高为 $h$ 的正二十二角锥体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[11]：

V={\frac {7hs^{2}\cot {\frac {\pi }{21}}}{4}}\approx 11.6105hs^{2}

S={\frac {21s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{21}}}}+s\cot {\frac {\pi }{21}}\right)}{2}}\approx 5.25s\left({\sqrt {4h^{2}+44.0175s^{2}}}+6.63457s\right)

二十角柱

二十角柱是一种底面为二十边形的柱体，是二十二面体的一种，由22个面60条边和40个顶点组成。正二十角柱代表每个面都是正多边形的二十角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个二十边形的公共顶点，顶点图以 $4{.}4{.}20$ 表示，因此具有每个角等角的性质（点可递），可以归类为半正二十二面体，不过他跟其他较接近球形的半正多面体相比之下变得扁很多。

正二十角柱在施莱夫利符号中可以用{20}×{}或t{2,20}来表示，在考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以用来表示，在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 20 | 2来表示，在康威多面体表示法中可以利用P20来表示。底边长为 $s$ 、高为 $h$ 的正二十角柱体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[12]：

V={\frac {20hs^{2}\cot {\frac {\pi }{20}}}{4}}\approx 31.5688hs^{2}

S=20s\left(h+{\frac {s\cot {\frac {\pi }{20}}}{2}}\right)\approx 20s\left(h+3.156876s\right)

十角反角柱

十角反角柱是一种底面为十边形的反角柱，由22个面、40条边和20个顶点组成。正十角反角柱代表每个面都是正多边形的十角反角柱，其每个顶点都是3个三角形和1个十边形的公共顶点，顶点图以 $3{.}3{.}3{.}10$ 表示，在施莱夫利符号中可以用 $s\left\{{\begin{matrix}2\\10\end{matrix}}\right\}$ 来表示^[13]。边长为单位长的正十角反角柱体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[13]：

V={\frac {5\left(2-{\frac {1}{{\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{8}}+{\frac {5}{8}}}}+1}}\right)^{3/2}\cot \left({\frac {\pi }{20}}\right)}{6{\sqrt {2}}}}\approx 6.74929

S=5\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\approx 24.0487

参见

二十面体

参考文献

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[1] Murray S. Klamkin. Problems in Applied Mathematics. SIAM. 1990. ISBN 9781611971729.

[2] Algonquin College, Carleton-Ottawa Mathematics Association. Crux Mathematicorum. 第 6 卷. Algonquin College. 1980: 29.

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[4] Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. （原始内容存档于2016-05-06）.

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[8] Roman E. Maeder. 65: great dodecahemicosahedron. mathconsult.ch. MathConsult AG. 1997 [2021-09-05]. （原始内容存档于2020-02-17）.

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