立方体堆砌

立方体堆砌
立方蜂巢体
立方体堆砌 ; 立方蜂巢体
	线架图
类型	正堆砌
家族	立方形堆砌
维度	3
对偶多胞形	立方体堆砌（自身对偶）
类比	正方形镶嵌
识别
名称	立方体堆砌
参考索引	J11,15, A1; W1, G22
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	chon
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
考克斯特记号; （英语：Coxeter notation）	[4,3,4]
纤维流形记号	4−:2
施莱夫利符号	{4,3,4}
性质
胞	{4,3} ; 棱处相交胞：4×{4,3}; 顶点处相交胞：8×{4,3}
面	{4} ; 棱处相交面：4×{4}; 顶点处相交面：12×{4}
边	∞; 顶点处相交棱：6
欧拉示性数	0
组成与布局
顶点图	; （正八面体）
对称性
对称群
空间群	Pm3m
考克斯特群	, [4,3,4]
特性
	顶点正（英语：vertex-transitive）
	查; 论; 编;

立方体堆砌（Cubic Honeycomb）^[2]是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其缩写为chon^[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有 ${\tilde {C}}_{n}$ 对称性，有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

性质

立方体堆砌由立方体填满空间组成，每个顶点都是8个立方体的公共顶点、每条棱都是4个立方体的公共棱。

顶点坐标

立方体堆砌顶点的笛卡尔坐标为：

(i, j, k)

对所有的i,j,k皆为立方体边长的整数倍

因此边长为1立方体堆砌也可以视为空间中的座标网格。

由于立方体堆砌是一个自身对偶多胞形，因此其几何中心位置同样可以构成另一个立方体堆砌，因此其几何中心座标也同样满足上述式子，而i,j,k值则为相邻立方体几何中心距离的整数倍。

正交投影

正交投影
对称性	p6m (*632)	p4m (*442)	pmm (*2222)
实体图
框线图

自然界中的立方体堆砌

作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。

简单立方晶格

简单立方晶格可以被扭曲成较低的对称性，通过较低的晶系代表：

晶系	单斜三斜	正交	四方	三方	立方
胞单位晶格	平行六面体	长方体		三方偏方面体	正方体
点群阶旋转对称群	[ ], (*) Order 2 [ ]⁺, (1)	[2,2], (*222) Order 8 [2,2]⁺, (222)	[4,2], (*422) Order 16 [4,2]⁺, (422)	[3], (*33) Order 6 [3]⁺, (33)	[4,3], (*432) Order 48 [4,3]⁺, (432)
图示
空间群旋转对称群	Pm (6) P1 (1)	Pmmm (47) P222 (16)	P4/mmm (123) P422 (89)	R3m (160) R3 (146)	Pm3m (221) P432 (207)
考克斯特式	-	[∞]_a×[∞]_b×[∞]_c	[4,4]_a×[∞]_c	-	[4,3,4]_a
考克斯特符号（英语：Coxeter diagram）	-			-

表面着色

作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有 ${\tilde {C}}_{4}$ 对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pm3m空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：

名称	考克斯特标记空间群	施莱夫利符号	颜色组合（字母表示）
立方体堆砌	[4,3,4] Pm3m	{4,3,4}	1: aaaa/aaaa
三次截半半立方体堆砌	[4,3^1,1] Fm3m	{4,3^1,1}	2: abba/baab
截面立方体堆砌	[4,3,4] Pm3m	t_0,3{4,3,4}	4: abbc/bccd
截面立方体堆砌	[[4,3,4]] Pm3m (229)	t_0,3{4,3,4}	4: abbb/bbba
正四棱柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	{4,4}×t{∞}	2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	t₁{4,4}×{∞}	2: abba/abba
无穷次无穷次无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×{∞}	4: abcd/abcd
无穷次无穷次无穷边形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×t{∞}	8: abcd/efgh

相关多面体和镶嵌

立方体堆砌与四维超正方体施莱夫利符号{4,3,3}相似，但超正方体只存在四维空间，且每个边的周为只有三个正方体而立方体堆砌有四个。此外，也可以有每个边的周为有五个正方体，他称为五阶立方体堆砌，存在于双曲空间，施莱夫利符号为{4,3,5}。

{p,3,4}
空间	S³	E³	H³（英语：雙曲空間）
来源	有限	仿射	紧凑	仿紧	非紧
施式	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}（英语：order-4 dodecahedral honeycomb）	{6,3,4}（英语：order-4 hexagonal tiling honeycomb）	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
图像
胞	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

考克斯特群[4,3,4]、产生15个排列均匀的镶嵌中，9个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌、扩展立方堆砌是几何上相同的立方体堆砌。

空间群	纤维流形	扩展对称群	扩展标记	阶	蜂巢体（堆砌）
Pm3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Half	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
I43m (217)	4^o:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Half × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Quarter × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^o:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

考克斯特群[4,3^1,1], , 考克斯特群产生 9个排列均匀的镶嵌中，其中4个具有独特的的几何形状，包括交替立方体堆砌。

空间群	纤维流形	扩展对称群	扩展标记	阶	蜂巢体（堆砌）
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Pm3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

立方体堆砌是 ${\tilde {A}}_{3}$ 考克斯特群中的五个结构特别的均匀堆砌^[4]之一，其对称性可以乘以环在考克斯特-迪肯符号的对称性：

空间群	纤维流形	方形对称群	扩展对称群	扩展标记	扩展阶	蜂巢体（堆砌）
F43m (216)	1^o:2	a1	[3^[4]]		×1	(None)
Fd3m (227)	2⁺:2	p2	[[3^[4]]]	↔	×2	₃
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3,3^1,1]	↔	×2	₁, ₂
Pm3m (221)	4⁻:2	d4	[2[3^[4]]] ↔ [4,3,4]	↔	×4	₄
Im3m (229)	8^o:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	×8	₅, _(*)

参考

^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
^ Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].
^ [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A000029 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 6-1 cases, skipping one with zero marks

H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org.
Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Index_references_ref-2] For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).

[3] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)

[4] Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].

[5] [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, A000029 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 6-1 cases, skipping one with zero marks

[1]

[2]

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[4]

查论编正镶嵌
一维正密铺	线段密铺超线段密铺（双曲）
二维正镶嵌	正三角形镶嵌正方形镶嵌正六边形镶嵌
三维正堆砌	立方体堆砌
四维正堆砌	超立方体堆砌正十六胞体堆砌正二十四胞体堆砌

性质