立方體堆砌

立方體堆砌
立方蜂巢體
立方體堆砌 ; 立方蜂巢體
	線架圖
類型	正堆砌
家族	立方形堆砌
維度	3
對偶多胞形	立方體堆砌（自身對偶）
類比	正方形鑲嵌
識別
名稱	立方體堆砌
參考索引	J11,15, A1; W1, G22
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	chon
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
考克斯特記號; （英語：Coxeter notation）	[4,3,4]
纖維流形記號	4−:2
施萊夫利符號	{4,3,4}
性質
胞	{4,3} ; 棱處相交胞：4×{4,3}; 頂點處相交胞：8×{4,3}
面	{4} ; 棱處相交面：4×{4}; 頂點處相交面：12×{4}
邊	∞; 頂點處相交棱：6
歐拉示性數	0
組成與佈局
頂點圖	; （正八面體）
對稱性
對稱群
空間群	Pm3m
考克斯特群	, [4,3,4]
特性
	頂點正（英語：vertex-transitive）
	閱; 論; 編;

立方體堆砌（Cubic Honeycomb）^[2]是三維空間內唯一的正密鋪，也是28個半正密鋪之一，由立方體堆砌而成，其縮寫為chon^[3]。它亦可被看作是四維空間中由無窮多個立方體胞組成的二胞角為180°的四維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是四維的多胞體。

立方形家族裏的多胞形二胞角總是90°，因此總能獨自完成超平面密鋪，這些密鋪又構成了另一家族「立方形堆砌」，具有 ${\tilde {C}}_{n}$ 對稱性，有施萊夫利符號形式{4,3,……,3,4}。

性質

立方體堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

頂點坐標

立方體堆砌頂點的笛卡爾坐標為：

(i, j, k)

對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方體堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方體堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方體幾何中心距離的整數倍。

正交投影

正交投影
對稱性	p6m (*632)	p4m (*442)	pmm (*2222)
實體圖
框線圖

自然界中的立方體堆砌

作為少有的三維半正堆砌，自然界中許多晶體都具有類似立方體堆砌的晶體結構，在固體物理學中被稱為「立方晶系」，許多固體化合物，如氯化鈉、硫化鋅、氯化亞銅、螢石、三氧化錸和金屬單質，如鋁、釩、鋰等，都具有這種晶系的結構。

簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

晶系	單斜三斜	正交	四方	三方	立方
胞單位晶格	平行六面體	長方體		三方偏方面體	正方體
點群階旋轉對稱群	[ ], (*) Order 2 [ ]⁺, (1)	[2,2], (*222) Order 8 [2,2]⁺, (222)	[4,2], (*422) Order 16 [4,2]⁺, (422)	[3], (*33) Order 6 [3]⁺, (33)	[4,3], (*432) Order 48 [4,3]⁺, (432)
圖示
空間群旋轉對稱群	Pm (6) P1 (1)	Pmmm (47) P222 (16)	P4/mmm (123) P422 (89)	R3m (160) R3 (146)	Pm3m (221) P432 (207)
考克斯特式	-	[∞]_a×[∞]_b×[∞]_c	[4,4]_a×[∞]_c	-	[4,3,4]_a
考克斯特符號（英語：Coxeter diagram）	-			-

表面着色

作為立方形堆砌家族其中一員，立方體堆砌有 ${\tilde {C}}_{4}$ 對稱性，有施萊夫利符號{4,3,4}，考克斯特符號，除此之外，作為一個空間堆砌，它有Pm3m空間平移對稱性。

而然，立方體堆砌亦可以被看作是許多具有不同對稱性的半正堆砌，它們所對應的對稱性、施萊夫利符號、考克斯特符號見下表：

名稱	考克斯特標記空間群	施萊夫利符號	顏色組合（字母表示）
立方體堆砌	[4,3,4] Pm3m	{4,3,4}	1: aaaa/aaaa
三次截半半立方體堆砌	[4,3^1,1] Fm3m	{4,3^1,1}	2: abba/baab
截面立方體堆砌	[4,3,4] Pm3m	t_0,3{4,3,4}	4: abbc/bccd
截面立方體堆砌	[[4,3,4]] Pm3m (229)	t_0,3{4,3,4}	4: abbb/bbba
正四稜柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	{4,4}×t{∞}	2: aaaa/bbbb
截棱正四稜柱堆砌	[4,3,4,2,∞]	t₁{4,4}×{∞}	2: abba/abba
無窮次無窮次無窮邊形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×{∞}	4: abcd/abcd
無窮次無窮次無窮邊形	[∞,2,∞,2,∞]	t{∞}×t{∞}×t{∞}	8: abcd/efgh

相關多面體和鑲嵌

立方體堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方體堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方體堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}
空間	S³	E³	H³（英語：雙曲空間）
來源	有限	仿射	緊湊	仿緊	非緊
施式	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}（英語：order-4 dodecahedral honeycomb）	{6,3,4}（英語：order-4 hexagonal tiling honeycomb）	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
圖像
胞	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

考克斯特群[4,3,4]、產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群	纖維流形	擴展對稱群	擴展標記	階	蜂巢體（堆砌）
Pm3m (221)	4⁻:2	[4,3,4]		×1	₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆
Fm3m (225)	2⁻:2	[1⁺,4,3,4] ↔ [4,3^1,1]	↔	Half	₇, ₁₁, ₁₂, ₁₃
I43m (217)	4^o:2	[[(4,3,4,2⁺)]]		Half × 2	₍₇₎,
Fd3m (227)	2⁺:2	[[1⁺,4,3,4,1⁺]] ↔ [[3^[4]]]	↔	Quarter × 2	₁₀,
Im3m (229)	8^o:2	[[4,3,4]]		×2	₍₁₎, ₈, ₉

考克斯特群[4,3^1,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌。

空間群	纖維流形	擴展對稱群	擴展標記	階	蜂巢體（堆砌）
Fm3m (225)	2⁻:2	[4,3^1,1] ↔ [4,3,4,1⁺]	↔	×1	₁, ₂, ₃, ₄
Fm3m (225)	2⁻:2	<[1⁺,4,3^1,1]> ↔ <[3^[4]]>	↔	×2	₍₁₎, ₍₃₎
Pm3m (221)	4⁻:2	<[4,3^1,1]>		×2	₅, ₆, ₇, ₍₆₎, ₉, ₁₀, ₁₁

立方體堆砌是 ${\tilde {A}}_{3}$ 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌^[4]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

空間群	纖維流形	方形對稱群	擴展對稱群	擴展標記	擴展階	蜂巢體（堆砌）
F43m (216)	1^o:2	a1	[3^[4]]		×1	(None)
Fd3m (227)	2⁺:2	p2	[[3^[4]]]	↔	×2	₃
Fm3m (225)	2⁻:2	d2	<[3^[4]]> ↔ [4,3,3^1,1]	↔	×2	₁, ₂
Pm3m (221)	4⁻:2	d4	[2[3^[4]]] ↔ [4,3,4]	↔	×4	₄
Im3m (229)	8^o:2	r8	[4[3^[4]]] ↔ [[4,3,4]]	↔	×8	₅, _(*)

參考

^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
^ Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].
^ [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, A000029 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） 6-1 cases, skipping one with zero marks

H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover參與編輯, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11個凸半正鑲嵌、28個凸半正堆砌、和143個凸半正四維砌的全表）
Branko Grünbaum, 三維正鑲嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication參與編輯, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- (22頁) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空間鑲嵌)
A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org.
Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[Index_references_ref-2] For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).

[3] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)

[4] Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].

[5] [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, A000029 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） 6-1 cases, skipping one with zero marks

[1]

[2]

[3]

[4]

閱論編正鑲嵌
一維正密鋪	線段密鋪超線段密鋪（雙曲）
二維正鑲嵌	正三角形鑲嵌正方形鑲嵌正六邊形鑲嵌
三維正堆砌	立方體堆砌
四維正堆砌	超立方體堆砌正十六胞體堆砌正二十四胞體堆砌

性質