算子範數 是數學 中泛函分析 里的概念。算子範數衡量的是線性映射 或線性算子 的「大小」，通常指的是兩個賦范向量空間 之間的有界線性映射 所構成的空間的範數。
給定兩個賦范向量空間E F 實數 域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數 域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
E F A c > 0
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}.}
其中的
‖
⋅
‖
E
{\displaystyle \|\cdot \|_{E}}
‖
⋅
‖
F
{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}
E F E F c c A c
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
,
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c\;;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E},\;\;\forall u\in E\}.}
其中的
inf
{\displaystyle \inf }
下確界 。由於實數 集合
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
{\displaystyle \{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}}
閉集 ，定義中的下確界
inf
{\displaystyle \inf }
min
{\displaystyle \min }
當F E E F E 對偶空間 ，而連續線性泛函的算子範數被稱為對偶範數 。對偶空間在對偶範數下是一個巴拿赫空間 。
考慮兩個裝備了正則歐幾里德範數的歐幾里德空間：
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
n
,
m
{\displaystyle n,m}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
矩陣 來表示。所以這些算子構成的空間實際上是矩陣空間：
M
n
,
m
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )}
矩陣範數 。假設某個線性映射對應的矩陣是
A
{\displaystyle A}
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
特徵值 的平方根 ，或者說是
A
{\displaystyle A}
奇異值 。
對於無限維的賦范空間，常見的例子有平方可加序列空間
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
ℓ
2
=
{
(
a
n
)
n
∈
N
;
a
n
∈
C
,
∑
n
|
a
n
|
2
<
∞
}
.
{\displaystyle \ell ^{2}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} };\;\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \}.}
給定一個有界數列
s
=
(
s
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
∞
{\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{\infty }}
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
T
s
{\displaystyle T_{s}}
∀
a
=
(
a
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
2
,
T
(
a
)
=
(
s
n
⋅
a
n
)
n
∈
N
.
{\displaystyle \forall a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2},\;\;T(a)=(s_{n}\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }.}
由於
s
{\displaystyle s}
‖
s
‖
∞
=
sup
{
|
s
n
|
;
n
∈
N
}
<
+
∞
{\displaystyle \|s\|_{\infty }=\sup\{|s_{n}|;\;\;n\in \mathbb {N} \}<+\infty }
‖
T
s
(
a
)
‖
2
⩽
‖
s
‖
∞
‖
a
‖
2
{\displaystyle \|T_{s}(a)\|_{2}\leqslant \|s\|_{\infty }\|a\|_{2}}
T
{\displaystyle T}
T
s
{\displaystyle T_{s}}
‖
T
s
‖
o
p
=
‖
s
‖
∞
.
{\displaystyle \|T_{s}\|_{op}=\|s\|_{\infty }.}
類似的例子還有
L
p
{\displaystyle L^{p}}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
T
f
{\displaystyle T_{f}}
∀
φ
∈
L
2
(
R
)
,
(
T
f
(
φ
)
)
(
t
)
=
f
(
t
)
ϕ
(
t
)
.
{\displaystyle \forall \varphi \in L^{2}(\mathbb {R} ),\;\;(T_{f}(\varphi ))(t)=f(t)\phi (t).}
其中f
T
f
{\displaystyle T_{f}}
‖
T
f
‖
o
p
=
‖
f
‖
∞
.
{\displaystyle \|T_{f}\|_{op}=\|f\|_{\infty }.}
線性算子A
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}.}
以外，還可以用以下等價的方式定義[ 1] :97 ：
A A
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
≤
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}\leq 1\},}
A A
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
<
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}<1\},}
A A
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
=
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}=1\},}
A A E
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
‖
u
‖
E
;
u
∈
E
,
u
≠
0
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{{\frac {\|A(u)\|_{F}}{\|u\|_{E}}};\;\;u\in E,\;\;u\neq 0\}.}
算子範數是所有從E F
正定性：
‖
A
‖
o
p
⩾
0
{\displaystyle \|A\|_{op}\geqslant 0}
‖
A
‖
o
p
=
0
{\displaystyle \|A\|_{op}=0}
A
=
0.
{\displaystyle A=0.}
線性性：
∀
a
∈
K
,
‖
a
A
‖
o
p
=
|
a
|
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {K} ,\;\;\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}.}
次可加性：
‖
A
+
B
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
+
‖
B
‖
o
p
.
{\displaystyle \|A+B\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}
[ 1] :98 此外，由算子範數的定義可推出以下不等式：
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
‖
A
‖
o
p
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant \|A\|_{op}\|u\|_{E}.}
[ 1] :97 有界算子複合後的算子範數仍然存在。假設有從E F A F G B B
∘
{\displaystyle \circ }
A E G
‖
B
∘
A
‖
o
p
⩽
‖
B
‖
o
p
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \|B\circ A\|_{op}\leqslant \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}
[ 1] :98 例如當A E
‖
A
(
n
)
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
n
.
{\displaystyle \|A^{(n)}\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}^{n}.}
如果F 完備空間 ，那麼從E F [ 1] :98
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 譯. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces. New York: Ghaylock Press. 1957 （英語） .
