对偶范数

对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义

对偶空间

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给定一个系数域为$\mathbb {F}$赋范向量空间（比如说一个巴拿赫空间）E（其中$\mathbb {F}$通常是实数域$\mathbb {R}$或复数域$\mathbb {C}$），所有从E到$\mathbb {F}$上的连续线性映射（也称为连续线性泛函）的集合称为E的（连续）对偶空间，记作：E' .

对偶范数

可以证明，E′是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（$\|\cdot \|'$）是一种自然的范数定义方式，定义为：

$\forall f\in E',\;\;\|f\|'=\sup \left\{|f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\right\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}};x\neq 0\right\}$

由于E′中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数後，E′成为一个赋范线性空间。可以证明，E′在对偶范数下必然是完备的，所以E′是巴拿赫空间。

证明：

给定一个由E′中元素构成的柯西序列：$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，其中每一个$f_{n}$都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知，

$\forall \epsilon >0,\;\;\exists N\in \mathbb {N} ,$ 使得$\forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .$

所以对E中任何元素x，都有：

$\forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.$

这说明$\left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }$是柯西数列，因而收敛：数列的极限存在。定义函数$f:\;\;E\rightarrow \mathbb {F}$如下：

$f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).$

这样定义的函数f 是连续线性泛函，属于E′。事实上：

1. f 是线性映射：

   $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,$

   $f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

2. f 是连续映射：

   将$\epsilon$定为1，则存在$N_{1}\in \mathbb {N}$，使得$\forall n>N_{1}$，都有$\|f_{n}-f_{N_{1}}\|'<1$，这说明：

   $\forall n>N_{1},\;\;\|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.$ 因此，$\forall n>N_{1},\;\;x\in E,\;\;\|x\|<1,$ 都有$|f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.$

   当$n$趋向无穷大时，就有：$|f(x)|\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1$。这说明f 是连续映射。

最后证明f 是序列$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$在对偶范数下的极限：

给定$\epsilon >0$，总能找到$N\in \mathbb {N}$，使得：

$\forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon ,$ 所以，$\forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,$

$|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .$

当$m$趋向无穷大时，就有：$|f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .$

因此，$\forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .$

这说明序列$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。

例子

给定两个大于1的实数p和q。如果两者满足：${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，那么序列空间$\ell ^{p}$和$\ell ^{q}$互相是对偶空间（在同构的意义上）。$\ell ^{p}$装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的$\ell ^{q}$建立等距同构。当$p=q=2$时，以上性质说明，$\ell ^{2}$和自身对偶。