算子范数 是数学 中泛函分析 里的概念。算子范数衡量的是线性映射 或线性算子 的“大小”，通常指的是两个赋范向量空间 之间的有界线性映射 所构成的空间的范数。
给定两个赋范向量空间E F 实数 域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数 域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
E F A c > 0
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}.}
其中的
‖
⋅
‖
E
{\displaystyle \|\cdot \|_{E}}
‖
⋅
‖
F
{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}
E F E F c c A c
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
,
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c\;;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E},\;\;\forall u\in E\}.}
其中的
inf
{\displaystyle \inf }
下确界 。由于实数 集合
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
{\displaystyle \{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}}
闭集 ，定义中的下确界
inf
{\displaystyle \inf }
min
{\displaystyle \min }
当F E E F E 对偶空间 ，而连续线性泛函的算子范数被称为对偶范数 。对偶空间在对偶范数下是一个巴拿赫空间 。
考虑两个装备了正则欧几里德范数的欧几里德空间：
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
n
,
m
{\displaystyle n,m}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
矩阵 来表示。所以这些算子构成的空间实际上是矩阵空间：
M
n
,
m
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )}
矩阵范数 。假设某个线性映射对应的矩阵是
A
{\displaystyle A}
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
特征值 的平方根 ，或者说是
A
{\displaystyle A}
奇异值 。
对于无限维的赋范空间，常见的例子有平方可加序列空间
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
ℓ
2
=
{
(
a
n
)
n
∈
N
;
a
n
∈
C
,
∑
n
|
a
n
|
2
<
∞
}
.
{\displaystyle \ell ^{2}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} };\;\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \}.}
给定一个有界数列
s
=
(
s
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
∞
{\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{\infty }}
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
T
s
{\displaystyle T_{s}}
∀
a
=
(
a
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
2
,
T
(
a
)
=
(
s
n
⋅
a
n
)
n
∈
N
.
{\displaystyle \forall a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2},\;\;T(a)=(s_{n}\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }.}
由于
s
{\displaystyle s}
‖
s
‖
∞
=
sup
{
|
s
n
|
;
n
∈
N
}
<
+
∞
{\displaystyle \|s\|_{\infty }=\sup\{|s_{n}|;\;\;n\in \mathbb {N} \}<+\infty }
‖
T
s
(
a
)
‖
2
⩽
‖
s
‖
∞
‖
a
‖
2
{\displaystyle \|T_{s}(a)\|_{2}\leqslant \|s\|_{\infty }\|a\|_{2}}
T
{\displaystyle T}
T
s
{\displaystyle T_{s}}
‖
T
s
‖
o
p
=
‖
s
‖
∞
.
{\displaystyle \|T_{s}\|_{op}=\|s\|_{\infty }.}
类似的例子还有
L
p
{\displaystyle L^{p}}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
T
f
{\displaystyle T_{f}}
∀
φ
∈
L
2
(
R
)
,
(
T
f
(
φ
)
)
(
t
)
=
f
(
t
)
ϕ
(
t
)
.
{\displaystyle \forall \varphi \in L^{2}(\mathbb {R} ),\;\;(T_{f}(\varphi ))(t)=f(t)\phi (t).}
其中f
T
f
{\displaystyle T_{f}}
‖
T
f
‖
o
p
=
‖
f
‖
∞
.
{\displaystyle \|T_{f}\|_{op}=\|f\|_{\infty }.}
线性算子A
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}.}
以外，还可以用以下等价的方式定义[ 1] :97 ：
A A
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
≤
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}\leq 1\},}
A A
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
<
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}<1\},}
A A
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
=
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}=1\},}
A A E
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
‖
u
‖
E
;
u
∈
E
,
u
≠
0
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{{\frac {\|A(u)\|_{F}}{\|u\|_{E}}};\;\;u\in E,\;\;u\neq 0\}.}
算子范数是所有从E F
正定性：
‖
A
‖
o
p
⩾
0
{\displaystyle \|A\|_{op}\geqslant 0}
‖
A
‖
o
p
=
0
{\displaystyle \|A\|_{op}=0}
A
=
0.
{\displaystyle A=0.}
线性性：
∀
a
∈
K
,
‖
a
A
‖
o
p
=
|
a
|
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {K} ,\;\;\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}.}
次可加性：
‖
A
+
B
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
+
‖
B
‖
o
p
.
{\displaystyle \|A+B\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}
[ 1] :98 此外，由算子范数的定义可推出以下不等式：
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
‖
A
‖
o
p
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant \|A\|_{op}\|u\|_{E}.}
[ 1] :97 有界算子复合后的算子范数仍然存在。假设有从E F A F G B B
∘
{\displaystyle \circ }
A E G
‖
B
∘
A
‖
o
p
⩽
‖
B
‖
o
p
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \|B\circ A\|_{op}\leqslant \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}
[ 1] :98 例如当A E
‖
A
(
n
)
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
n
.
{\displaystyle \|A^{(n)}\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}^{n}.}
如果F 完备空间 ，那么从E F [ 1] :98
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 译. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces. New York: Ghaylock Press. 1957 （英语） .
