扭稜四角反角柱

扭稜四角反角柱
類別	詹森多面體 ; J84 - J85 - J86
識別
名稱	扭稜四角反角柱
參考索引	J85
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snisquap
數學表示法
施萊夫利符號	ss{2,8}
性質
面	26
邊	40
頂點	16
歐拉特徵數	F=26, E=40, V=16 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8+16個三角形 ; 2個正方形
頂點圖	8個(35) ; 8個(34.4)
對稱性
對稱群	D4v群
特性
	凸多面體
圖像
	; （展開圖）
	閱; 論; 編;

扭稜四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為J₈₅^[1]。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英語：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述^[2]。

性質

扭稜四角反角柱共由26個面、40條邊和16頂點所組成^[3]^[4]^[5]。在其26個面中，有24個三角形和2個正方形^[3]。在其16個頂點中，有8個頂點是5個三角形的公共頂點^[5]，在頂點圖中可以用[3⁵]來表示^[6]、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點^[5]，在頂點圖中可以用[3⁴,4]來表示^[6]。

構造

形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱^[7]，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4^[8]。

體積與表面積

若一個扭稜四角反角柱邊長為 $a$ ，則其表面積 $A$ 為：^[9]

A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},

^[10]

而其體積 $V$ 為：

V=\xi a^{3},

其中 $\xi \approx 3.60122$ 是下列多項式的最大實根：

531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.

^[11]

頂點座標

令 $k$ 為下列三次式的正實根，約為 $k\approx 0.82354$ ：

9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.

和h約為 $h\approx 1.35374$ ：

h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.

則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出：^[12]

(1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)

扭稜反角柱

類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。^[7]

扭稜反角柱
對稱性	D_2d, [2⁺,4], (2*2)	D_3d, [2⁺,6], (2*3)	D_4d, [2⁺,8], (2*4)	D_5d, [2⁺,10], (2*5)
反角柱	s{2,4} A2 （頂點：4、邊：8、面：6）	s{2,6} A3 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（頂點：6、邊：12、面：8）	s{2,8} A4 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（頂點：8、邊：16、面：10）	s{2,10} A5 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（頂點：10、邊：20、面：12）
截角反角柱	ts{2,4} tA2 （頂點：16、邊：24、面：10）	ts{2,6} tA3 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（頂點：24、邊：36、面：14）	ts{2,8}（英語：truncated square antiprism） tA4 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（頂點：32、邊：48、面：18）	ts{2,10} tA5 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（頂點：40、邊：60、面：22）
對稱性	D₂, [2,2]⁺, (222)	D₃, [3,2]⁺, (322)	D₄, [4,2]⁺, (422)	D₅, [5,2]⁺, (522)
扭稜反角柱	J84	二十面體	J85	凹
		sY3 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） = HtA3	sY4 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） = HtA4	sY5 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） = HtA5
	ss{2,4} （頂點：8、邊：20、面：14）	ss{2,6} （頂點：12、邊：30、面：20）	ss{2,8} （頂點：16、邊：40、面：26）	ss{2,10} （頂點：20、邊：50、面：32）

參見

參考文獻

^ Weisstein, Eric W. (編). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
^ ^3.0 ^3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-09）.
^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）.
^ ^6.0 ^6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-01-25）.
^ ^7.0 ^7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始內容存檔於2019-03-27）.
^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-03-10）.
^ Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"]
^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x]
^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.

外部連結

[mathworld-3] Weisstein, Eric W. (編). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[4] Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8

[dmccooey-5] 3.0 ^3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-09）.

[6] The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）.

[polyhedra.tessera.li-7] 5.0 ^5.1 ^5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）.

[Richard_Klitzing-8] 6.0 ^6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-01-25）.

[Snub_Anti-Prisms-9] 7.0 ^7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始內容存檔於2019-03-27）.

[10] PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-03-10）.

[SW-11] Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.

[12] Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"]

[13] Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x]

[14] Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.

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閱論編詹森多面體
稜錐、帳塔和罩帳	正四角錐正五角錐正三角帳塔正四角帳塔正五角帳塔正五角罩帳
稜錐與擬柱體的組合	正三角錐柱正四角錐柱正五角錐柱正四角錐反角柱正五角錐反角柱雙三角錐雙五角錐雙三角錐柱雙四角錐柱雙五角錐柱雙四角錐反角柱
帳塔和罩帳與擬柱體的組合	三角帳塔柱四角帳塔柱五角帳塔柱正五角罩帳柱正三角帳塔反角柱正四角帳塔反角柱正五角帳塔反角柱正五角罩帳反角柱異相雙三角柱同相雙三角帳塔同相雙四角帳塔異相雙四角帳塔同相雙五角帳塔異相雙五角帳塔同相五角帳塔罩帳異相五角帳塔罩帳同相雙五角罩帳（英語：Pentagonal orthobirotunda）同相雙三角帳塔柱（英語：Elongated triangular orthobicupola）異相雙三角帳塔柱（英語：Elongated triangular gyrobicupola）異相雙四角帳塔柱同相雙五角帳塔柱（英語：Elongated pentagonal orthobicupola）異相雙五角帳塔柱（英語：Elongated pentagonal gyrobicupola）同相五角帳塔罩帳柱（英語：Elongated pentagonal orthocupolarotunda）異相五角帳塔罩帳柱（英語：Elongated pentagonal gyrocupolarotunda）同相五角雙罩帳柱（英語：Elongated pentagonal orthobirotunda）異相五角雙罩帳柱（英語：Elongated pentagonal gyrobirotunda）雙三角帳塔反角柱（英語：Gyroelongated triangular bicupola）雙四角帳塔反角柱（英語：Gyroelongated square bicupola）雙五角帳塔反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal bicupola）五角帳塔罩帳反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal cupolarotunda）雙五角罩帳反角柱（英語：Gyroelongated pentagonal birotunda）
側錐稜柱	側錐三角柱二側錐三角柱三側錐三角柱側錐五角柱二側錐五角柱間二側錐五角柱側錐六角柱二側錐六角柱對二側錐六角柱間二側錐六角柱三側錐六角柱
側錐柏拉圖立體	側錐正十二面體（英語：Augmented dodecahedron）對二側錐正十二面體（英語：Parabiaugmented dodecahedron）間二側錐正十二面體（英語：Metabiaugmented dodecahedron）三側錐正十二面體（英語：Triaugmented dodecahedron）正二十面體欠鄰二側錐（英語：Metabidiminished icosahedron）正二十面體欠三側錐（英語：Tridiminished icosahedron）側錐正二十面體欠三側錐（英語：Augmented tridiminished icosahedron）
阿基米德立體與擬柱體的組合與缺少	側帳塔截角四面體側帳塔截角立方體對二側帳塔截角立方體側帳塔截角十二面體（英語：Augmented truncated dodecahedron）對二側帳塔截角十二面體（英語：Parabiaugmented truncated dodecahedron）間二側帳塔截角十二面體（英語：Metabiaugmented truncated dodecahedron）三側帳塔截角十二面體（英語：Triaugmented truncated dodecahedron）單旋側帳塔小斜方截半二十面體（英語：Gyrate rhombicosidodecahedron）對二旋側帳塔小斜方截半二十面體（英語：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）鄰二旋側帳塔小斜方截半二十面體（英語：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）三旋側帳塔小斜方截半二十面體（英語：Trigyrate rhombicosidodecahedron）小斜方截半二十面體欠一側帳塔（英語：Diminished rhombicosidodecahedron）對單旋側帳塔小斜方截半二十面體欠一側帳塔（英語：Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron）鄰單旋側帳塔小斜方截半二十面體欠一側帳塔（英語：Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron）二旋側帳塔小斜方截半二十面體欠一側帳塔（英語：Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron）小斜方截半二十面體欠對二側帳塔小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔（英語：Metabidiminished rhombicosidodecahedron）單旋側帳塔小斜方截半二十面體欠二側帳塔小斜方截半二十面體欠三側帳塔
基本立體	扭稜鍥形體扭稜四角反角柱球狀屋頂側錐球狀屋頂加長型球狀屋頂廣底加長型球狀屋頂五角錐球狀屋頂雙新月雙罩帳三角廣底球狀罩帳
相關主題	擬詹森多面體條件邊正多邊形凸多面體欠 (多面體變換)
（參見詹森多面體列表）