十一面體

**十一面體**
部分的十一面體
; 雙對稱十一面體	; 五角錐台錐
; 正五角錐柱	; 截頂角五方偏方面體
; 側錐六角柱	; 二側錐三角柱

在幾何學中，十一面體（英語：Hendecahedron）是指具有十一個面的多面體^[1]。沒有任何十一面體是正十一面體，也就是說找不到面由正多邊形組成且每個面全等、每個角相等的十一面體。

命名

十一面體的英文是Hendecahedron，其命名方式為Hen-代表一，deca代表十，然後結合多面體字尾-hedron，就得到十一面體Hendecahedron^[2]。

常見的十一面體

在所有凸十一面體中，包含鏡射像共有440,564種拓樸結構明顯差異的凸十一面體^[3]^[4]。拓樸結構有明顯差異意味着兩種多面體無法透過移動頂點位置、扭曲或伸縮來相互變換的多面體，例如五角錐柱和九角柱無論如何變形都無法互相變換，因此拓樸結構不同，但九角柱和九角錐台可以透過伸縮其中一個九邊形面來彼此互換，因此三角柱和三角錐台在拓樸上並無明顯差異。

常見的十一面體有錐體和柱體、部分的詹森多面體和半正多面體，此處的半正多面體並非阿基米德立體，而是正九角柱。

其他十一面體還有九角柱、十角錐、正五角錐反角柱的對偶、雙對稱十一面體等多面體，其中雙對稱十一面體可以密鋪空間。^[5]

三角罩帳

三角罩帳是指以三角形為底的罩帳，是一種十一面體，由1個三角形頂面、1個六邊形底面、3個五邊形側面和6個三角形側面組成，共有11個面、21條邊和12個頂點，其中頂面的三角形與底面的六邊形互相平行，側面的三角形與五邊形交錯地圍繞軸分佈在周圍。

以正三角形為底的三角罩帳稱為正三角罩帳，其僅有頂面和底面為正多邊形，分別為頂面的正三邊形和底面的正六邊形，側面可能可以存在正三角形或存在正五邊形，但有正三角形面時，五邊形最多僅能是等邊不等角的非正五邊形；有正五邊形面時，三角形會出現等腰三角形，故不屬於詹森多面體。唯一屬於詹森多面體的罩帳僅有正五角罩帳^[6]。

正三角罩帳的對稱群為C_3v（英語：Dihedral symmetry in three dimensions）群，階數為6階。

截半三角柱

在幾何學中，截半三角柱是指經過截半變換後的三角柱，是一種十一面體^[7]，其側面是正方形、底面是正三角形，另外還有6個等腰三角形面。

截半三角柱可由三角柱將邊的中點當作新的頂點，舊的頂點消失，來構造，換句話說，即是用三角柱由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去三角柱的頂點，但不是截角）而成。

其具有D_3h二面體群的對稱性。

詹森多面體

在十一面體中，有3個是詹森多面體，它們分別為:正五角錐柱、二側錐三角柱、側錐六角柱。

名稱	種類	編號	頂點	邊	面	面的種類	對稱性
正五角錐柱	角錐柱	J₉^[8]	11	20	11	5個正三角形 5個正方形 1個正五邊形	C_5v, [5], (*55)
二側錐三角柱	錐體與柱體的組合	J₅₀^[9]	8	17	11	10個正三角形 1個正方形	C_2v
側錐六角柱	錐體與柱體的組合	J₅₄^[10]	8	17	11	4個正三角形 5個正方形 2個六邊形	C_2v

九角柱

九角柱是一種底面為九邊形的柱體，是十一面體的一種，由11個面、27條邊和18個頂點組成^[11]，對偶多面體為雙九角錐^[12]。正九角柱代表每個面都是正多邊形的九角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個九邊形的公共頂點，因此具有每個角等角的性質，可以歸類為半正十一面體。而頂點都是2個正方形和1個九邊形的公共頂點的這種頂角，在頂點圖中以 $4{.}4{.}9$ 表示。正九角柱在施萊夫利符號中可以利用{9}×{} 或 t{2, 9}來表示；在考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用來表示；在威佐夫符號（英語：Wythoff symbol）中可以利用2 9 | 2來表示；在康威多面體表示法中可以利用P9來表示。若一個正九角柱底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為^[13]：

V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}}{4}}\approx 6.18182hs^{2}

S=9s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{9}}\right)\approx 9s\left(h+1.37374s\right)

十角錐

十角錐是一種底面為十邊形的錐體，是十一面體的一種，由11個面、20條邊和11個頂點組成^[14]，其對偶多面體是自己本身^[15]。正十角錐是一種底面為正十邊形的十角錐。若一個正十角錐底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為^[15]：

V={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{6}}hs^{2}\approx 2.56474hs^{2}

S={\frac {5s\left({\sqrt {4h^{2}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)s^{2}}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}s\right)}{2}}\approx 2.5s\left({\sqrt {4h^{2}+9.47214s^{2}}}+3.07768s\right)

十一面體列表

名稱	種類	符號	頂點	邊	面	χ	面的種類	對稱性
九角柱	稜柱體	t{2,9} {9}x{}	18	27	11	2	2個九邊形 9個矩形	D_9h, [9,2], (*922), order 36
十角錐	稜錐體	( )∨{10}	11	20	11	2	1個十邊形 10個三角形	C_10v, [10], (*10 10)
五角錐柱	角錐柱詹森多面體	P5+Y5	11	20	11	2	5個三角形 5個正方形 1個五邊形	C_5v, [5], (*55)
五角錐台錐	截角雙錐		11	20	11	2	1個五邊形 5個梯形 5個三角形	C_5v, [5], (*55)
三角罩帳	罩帳		12	21	11	2	1個三角形頂面 1個六邊形底面 3個五邊形側面 6個三角形側面	C_3v（英語：Dihedral symmetry in three dimensions）, [3], (*33), order 6
截頂角五方偏方面體	截頂角偏方面體		16	25	11	2	1個五邊形底面 5個五邊形側面 5個鳶形側面	C_5v, [5], (*55)
截半三角柱			9	18	11	2	2個三角形 3個正方形 6個等腰三角形	D_3h, [3,2], (*322), order 12
截半雙三角錐			9	18	11	2	3個正方形 8個三角形	D_3h, [3,2], (*223) order 12
雙對稱十一面體	空間充填多面體		11	20	11	2	4個箏形 2個菱形 4個等腰三角形 1個正方形

在化學中

在化學中，將十八面體硼烷離子([B₁₁H₁₁]²⁻)的氫全部去掉後，可以得到一個結構，它是十八面體，再將每個硼原子做垂直於重心到硼原子的面，可構造成新的多面體，即為十八面體硼烷結構的對偶多面體，也是十一面體之一。^[16]

雙對稱十一面體

雙對稱十一面體（Bisymmetric Hendecahedron）是十一面體的一種多面體

柏拉圖和阿基米德立體，只有少數可以密鋪於空間，也就是說堆砌在一起，不留空隙，以填補空間。Guy Inchbald描述了一個有趣的多面體，可以以令人驚訝的方式利用11面體完成空間的密鋪。^[5]^[17]^[18]

圖像	旋轉動畫	展開圖

曾有人提出一個十一面體^[5]，它的面數和頂點數是相同的^[19]，經過扭曲後，會得到不同的特性。最對稱的自身對偶十一面體是雙對稱十一面體^[20]，它之所以會稱為雙對稱是因為它有兩個對稱面^[19]。

參考文獻

^ Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley & Sons. 2003: 237. ISBN 9780471461630.
^ Schwartzman Steven. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English MAA Spectrum. Washington, D.C. : The Mathematical Association of America,. 1994: 243. ISBN 9780883855119.
^ Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
^ Counting polyhedra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） numericana.com [2016-1-10]
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Inchbald, Guy. "Five Space-Filling Polyhedra." The Mathematical Gazette 80, no. 489 (November 1996): 466-475.
^ Johnson, Norman W.（英語：Norman Johnson (mathematician)）, Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
^ 黃鈺閔; 楊元蓁; 林鳳美, 構成均勻凸多面體的條件式及幾何性質之探討 (PDF), 成淵高中小論文, [2021-08-02], （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-02）
^ Weisstein, Eric W. (編). Elongated Pentagonal Pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Weisstein, Eric W. (編). Biaugmented triangular prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Weisstein, Eric W. (編). Augmented pentagonal prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Prism. [2022-09-14]. （原始內容存檔於2016-08-07）.
^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Dipyramid. [2022-09-14]. （原始內容存檔於2022-09-14）.
^ Wolfram, Stephen. "enneagon prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with C10v Symmetry: Decagonal Pyramid. [2022-09-14]. （原始內容存檔於2022-09-14）.
^ ^15.0 ^15.1 Wolfram, Stephen. "decagon pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
^ Holleman, Arnold Frederik; Wiberg, Egon, Wiberg, Nils , 編, Inorganic Chemistry, 由Eagleson, Mary; Brewer, William翻譯, San Diego/Berlin: Academic Press/De Gruyter: 1165, 2001, ISBN 0-12-352651-5
^ Space-Filling Bisymmetric Hendecahedron. [2013-04-11]. （原始內容存檔於2013-03-28）.
^ Anderson, Ian. "Constructing Tournament Designs." The Mathematical Gazette 73, no. 466 (December 1989): 284-292.
^ ^19.0 ^19.1 A Self-Dual Hendecahedron （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） steelpillow.com [2013-4-12]
^ Five space-filling polyhedra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） steelpillow.com [2013-4-12]

[11face-1] Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley & Sons. 2003: 237. ISBN 9780471461630.

[wom-2] Schwartzman Steven. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English MAA Spectrum. Washington, D.C. : The Mathematical Association of America,. 1994: 243. ISBN 9780883855119.

[3] Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[4] Counting polyhedra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） numericana.com [2016-1-10]

[fsfp-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Inchbald, Guy. "Five Space-Filling Polyhedra." The Mathematical Gazette 80, no. 489 (November 1996): 466-475.

[Johnson,_Norman_W_1966-6] Johnson, Norman W.（英語：Norman Johnson (mathematician)）, Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .

[7] 黃鈺閔; 楊元蓁; 林鳳美, 構成均勻凸多面體的條件式及幾何性質之探討 (PDF), 成淵高中小論文, [2021-08-02], （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-02）

[8] Weisstein, Eric W. (編). Elongated Pentagonal Pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[9] Weisstein, Eric W. (編). Biaugmented triangular prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[10] Weisstein, Eric W. (編). Augmented pentagonal prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[dmccooey_Enneagonal_Prism-11] David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Prism. [2022-09-14]. （原始內容存檔於2016-08-07）.

[dmccooey_Enneagonal_Dipyramid-12] David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Dipyramid. [2022-09-14]. （原始內容存檔於2022-09-14）.

[enneagon_prism-13] Wolfram, Stephen. "enneagon prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.

[dmccooey_Decagonal_Pyramid-14] David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with C10v Symmetry: Decagonal Pyramid. [2022-09-14]. （原始內容存檔於2022-09-14）.

[decagon_pyramid-15] 15.0 ^15.1 Wolfram, Stephen. "decagon pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.

[16] Holleman, Arnold Frederik; Wiberg, Egon, Wiberg, Nils , 編, Inorganic Chemistry, 由Eagleson, Mary; Brewer, William翻譯, San Diego/Berlin: Academic Press/De Gruyter: 1165, 2001, ISBN 0-12-352651-5

[sfbhdh-17] Space-Filling Bisymmetric Hendecahedron. [2013-04-11]. （原始內容存檔於2013-03-28）.

[18] Anderson, Ian. "Constructing Tournament Designs." The Mathematical Gazette 73, no. 466 (December 1989): 284-292.

[Self-Dual-Hendecahedron-19] 19.0 ^19.1 A Self-Dual Hendecahedron （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） steelpillow.com [2013-4-12]

[20] Five space-filling polyhedra （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） steelpillow.com [2013-4-12]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

閱論編多面體
1 - 10	一面體二面體三面體四面體正四面體鍥形體五面體三角柱四角錐六面體立方體長方體四角柱五角錐平行六面體雙三角錐七面體八面體九面體十面體
11 - 20	十一面體十二面體十三面體十四面體十五面體十六面體十七面體十八面體十九面體二十面體
其他	空多胞形零面體多面形三面形超二十面體二十二面體二十四面體二十七面體三十面體六十面體無限面體
正多面體	正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體正無限面體